Nullraum zum LGS?

02.02.2011, 10:16

Patricia1991

Nullraum zum LGS?

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & b \\ 1 & b & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2a \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) für welche Kombination von a,b aus R besitzt das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung, keine Lösung, unendliche Lösungen?

b) Geben Sie den zugehörigen Nullraum für b= 4 an

c) Bestimmen Sie für a=1 und b=4 die Lösungsmenge

Meine Ideen:
Also c finde ich noch einfach, meine Lösungen nach der Gauß Umformung sind:
x1= 2/3 ; x2= 1/3 und x3= 0

a) Erstmal nach Gauß wieder umformen und dann ablesen, wann die einzelnen Bedingungen (mit den Rängen) erfüllt sind.

Dreiecksmatrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & b \\ 0 & b-1 & 3-b \\ 0 & 0 & 2-b \end{vmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2a \\ a-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1 Lösung bei: b ungleich 2 und a ungleich 1
unendliche bei: b=2 und a = 1
keine bei: b=2 und a ungleich 1

Nun komme ich bei b) aber nicht weiter... muss ich jetzt das LGS nur mit dem Nullvektor gleichsetzen?? Quasi A*x = 0 ??

02.02.2011, 10:37

ThomasL

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RE: Nullraum zum LGS?
auf der rechten Seite sollte (im umgeformten Glsystem) in der 2. Komponente $\begin{eqnarray*} 2a-1 \end{eqnarray*}$ stehen statt $\begin{eqnarray*} 2a \end{eqnarray*}$ .
Deine Lösung zu a) scheint mir nicht ganz richtig: was passiert für $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ ?

02.02.2011, 17:46

Patricia1991

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RE: Nullraum zum LGS?
sry da hast du recht ^^

ehm ja Nummer a) hab ich nochmal überarbeitet

eine Lösung für: b ungleich 1,2,3 und a ungleich 0,5 und 1

keine Lösung für: b = 1,3,2 und a ungleich 0,5 und 1

unendliche für: b= 1,3,2 und a = 0,5,1

Hättest du vllt einen kleinen Tipp, wie ich jetzt den Nullraum unter b) ausrechnen kann??
Also mein Ansatz wäre ja, das oben umgeformte LGS mit dem Nullvektor gleichzusetzen.
Also A*x = 0

Wie muss ich da fortfahren??

02.02.2011, 18:39

ThomasL

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RE: Nullraum zum LGS?
Ich bin wieder anderer Meinung bei a).
Wir haben also das System

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & b & 1 \\ 0 & b-1& 3-b & 2a-1 \\ 0 & 0 & 2-b & a-1 \end{array} \end{eqnarray*}$

Nun mache ich eine Fallunterscheidung, ob die Diagonalelemente 0 sind oder nicht:

1.Fall: $\begin{eqnarray*} b\neq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b\neq 2 \end{eqnarray*}$
Dann ist das System eindeutig lösbar für alle $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$
Jetzt bleiben noch:
2.Fall: $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$
3.Fall: $\begin{eqnarray*} b=2 \end{eqnarray*}$ .

Zu b): Ja, $\begin{eqnarray*} b=4 \end{eqnarray*}$ einsetzen (kann man gerade schon im umgeformten System) und rechts den Nullvektor nehmen

02.02.2011, 18:57

Patricia1991

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RE: Nullraum zum LGS?
achso okay danke!! ja dann weiß ich, wie ich den Nullraum ausrechne.

Die Sache mit den Lösungen des LGS, rechnen wir an der Uni immer mit den Bedingungen der Ränge aus.

Also 1 Lösung wenn rg(A|b) = n
keine, wenn rg(A) kleiner als rg(A|b)
unendliche, wenn rg(A|b) kleiner als n

Daher meine oben genannten Zahlen

02.02.2011, 19:33

ThomasL

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RE: Nullraum zum LGS?

Zitat:

Original von Patricia1991
Die Sache mit den Lösungen des LGS, rechnen wir an der Uni immer mit den Bedingungen der Ränge aus.

Also 1 Lösung wenn rg(A|b) = n
keine, wenn rg(A) kleiner als rg(A|b)
unendliche, wenn rg(A|b) kleiner als n

Diese sind allerdings so nicht richtig. Ein Gegenbeispiel zum 1.Fall wäre etwa

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc|c} 1& 1 &1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 &0 & 0 & 1 \end{array} \end{eqnarray*}$

Hier ist $\begin{eqnarray*} \mathrm{rg}(A|b)=3=n \end{eqnarray*}$ , aber es gibt keine Lösung.

02.02.2011, 19:46

Patricia1991

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RE: Nullraum zum LGS?
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

-2x3= 0 also x3=0
1x1 + 1x2 + 4x3=0
3x2 - 1x3 = 0

Wähle ich jetzt für x2=1 und für x1= -1; damit 1+ (-1)+0 = 0 erfüllt ist | 2. Gleichung

Dann ist dies mein Nullraum für b= 4 ??

02.02.2011, 20:20

ThomasL

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RE: Nullraum zum LGS?

Zitat:

Original von Patricia1991
Wähle ich jetzt für x2=1 und für x1= -1; damit 1+ (-1)+0 = 0 erfüllt ist | 2. Gleichung
Dann ist dies mein Nullraum für b= 4 ??

Nein. Du hast $\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$ berechnet, und daraus folgt aus der 2.Gleichung $\begin{eqnarray*} x_2=0 \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet dann wegen der 1.Gl auch $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ .
Die Lösungsmenge besteht also nur aus dem Nullvektor. (muss auch so sein, da die Koeffizientenmatrix invertierbar ist)

02.02.2011, 22:49

Patricia1991

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RE: Nullraum zum LGS?
stimmt, sry :P war irgendwie in der Eigenvektor Denkweise drin
Danke ;-)

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