x im Nenner Part 2

02.02.2011, 11:32

Pablo

x im Nenner Part 2

moinsen

also nehmen wir mal diese aufgabe hier z B:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{3(x-1)} + \frac{1}{(x+2)} =5 \end{eqnarray*}$

okay erster schritt ist jetzt der hauptnenner, der überkreuzt erweiter wird stimmts?

sagt ja und ich mach weiter smile

02.02.2011, 11:33

baphomet

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RE: x im Nenner Part 2
JA, so ist es

02.02.2011, 11:36

Pablo

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moin baphomet.

weiter gehts:
$\begin{eqnarray*} \frac{x(x+2)}{3(x-1)} + \frac{1(3x-1)}{(x+2)} \end{eqnarray*}$

stimmt das?
wenn nicht nur kurz sagen, was nict passt, ich änder das im nächsten Latex.

02.02.2011, 11:37

baphomet

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die 3 gehört vor die Klammer beim Rest. Benutze den Formeleditor. Außerdem fehlt noch so einiges im Nenner

02.02.2011, 11:39

Pablo

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habs geändert. sorry war ein tippfehler.

okay also den schritt mit dem überkreuzten erweitern hab ich, nun muss ich auf nen gleichen nenner kommen, stimmts?

02.02.2011, 11:40

baphomet

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Ja es sollte der gleiche Nenner bei beiden Brüchen vorhanden sein, zeig mir
bitte mal dein Ergebnis des Erweiterns.

02.02.2011, 11:43

Pablo

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wie meinst du, was willst du jetzt genau? was muss ich jetzt tun?

02.02.2011, 11:44

baphomet

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Du hast doch den Hauptnenner gefunden, dann zeig mir mal jetzt deine Gleichung
wie die jetzt aussieht. Ich möchte sehen ob alles korrekt ist.

Dann folgt der nächste Schritt

02.02.2011, 11:46

Pablo

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den hauptnenner hab ich ja noch nicht, bis jetzt hab ich nur die überkreuzte Zählererweiterung gmeacht.
Beim hauptnenner jetzt brauch ich n tipp, wie ich das machen soll

02.02.2011, 11:49

baphomet

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Dann stehen wir ja am Anfang.
Nochmals zu deinem ersten Beitrag wo auch deine Bruchgleichung zu finden ist.

Schaue dir die Nenner an, wie lautet der Hauptnenner(bei Zahlen kgV durch Multiplikation)?

Jetzt wo du weißt, was der Hauptnenner ist, wie mußt du den 1. Bruch erweitern
und wie den 2. Bruch erweitern?

Erweitern heißt Zähler und Nenner multiplizieren, der Wert des Bruches bleibt gleich.

02.02.2011, 11:52

Pablo

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hmm weiß ich nicht, also unten steht ja 3 (x-1) und bei dem anderen bruch steht (x+2)

auf was muss ich jeztzt hier achten? das eine ist komplett in der klammer das andere nicht, das mein ich mit check ich nicht.

brauch ich jetzt den Hn aus 3; 2 und 1???

02.02.2011, 11:54

baphomet

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Die Nenner lautet wie du festgestellt hast:

$\begin{eqnarray*} 3(x-1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x+2) \end{eqnarray*}$

Den Hauptnenner findet man wie bei Zahlen durch Multiplikation, das heoßt der
Hauptnenner heißt:

$\begin{eqnarray*} 3(x-1)(x+2) \end{eqnarray*}$

Wie sind jetzt wo du den Hauptnenner kennst die Brüche zu erweitern, damit dieser
Hauptnenner entsteht?

02.02.2011, 11:58

Pablo

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warte mal.
also oben im zähler muss ich nichts mehr machen oder? da reicht es immer wenn man die brüche überkreuzt erweitert?

02.02.2011, 12:00

baphomet

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Doch, Erweitern heißt Zähler und Nenner multiplizieren. Der Wert des Bruches
bleibt doch gleich, wie bei Zahlen.

Du kennst den Hauptnenner, schaue dir dazu die Nenner der Brüche an, was fehlt
im Vergleich zum Hauptnenner, wie muß also erweitert werden?

02.02.2011, 12:01

Pablo

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wa hat dieses überkreuzt erweitern am anfang gebracht?
oh man erklär das halt mal normal und nicht stänidg mit so halben fragen traurig

das verwirrt nur noch mehr.

sag doch mal klipp und klar was man hier tun muss

02.02.2011, 12:13

baphomet

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Ich habe es dir in zwanzig Beiträgen bereits zwanzig mal erklärt, jetzt folgt hier
mal ein Zahlenbeispiel, ich bitte ich es genau anzuschauen.

Wir addieren zwei Brüche:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}+\frac{2}{5} \end{eqnarray*}$

Wur suchen den Hauptnenner, dieser ergibt sich durch Multiplikation der Nenner,
3 MAL 5=15. Wir haben die beiden Brüche zu erweitern, damit der Hauptnenner
entsteht. Erweitern= Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren.

$\begin{eqnarray*} \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5}+\frac{2\cdot 3}{5\cdot 3} \end{eqnarray*}$

Damit der Hauptnenner von 15 entsteht, muss der erste Bruch(Zähler und Nenner)
mit 5 erweitert werden. Der zweite Bruch(Zähler und Nenner) muss mit 3
erweitert werden damit der Hauptnenner entsteht.

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{3(x-1)}+\frac{1}{(x+2)} \end{eqnarray*}$

Analog zu deiner gestellten Aufgabe, die Nenner lauten: $\begin{eqnarray*} 3(x-1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x+2) \end{eqnarray*}$ , durch
Multiplikation entsteht der Hauptnenner, dieser ist $\begin{eqnarray*} 3(x-1)(x+2) \end{eqnarray*}$ .
Hier zeige ich das ERWEITERN, Mutlipliktion von NENNER UND ZÄHLER mit
DEMSELBEN TERM.

$\begin{eqnarray*} \frac{x \cdot (x+2)}{3(x-1)(x+2)}+\frac{1\cdot 3(x-1)}{3(x-1)(x+2)}<br /> \end{eqnarray*}$

Der erste Bruch ist mit $\begin{eqnarray*} (x+2) \end{eqnarray*}$ zu erweitern damit dieser entsteht, der zweite Bruch
mit $\begin{eqnarray*} 3(x-1) \end{eqnarray*}$ zu erweitern damit der Hauptnenner entsteht.

Bitte gründlich durchlesen und das Beispiel nachvollziehen.
Irgendwelche Fragen?

02.02.2011, 12:21

Pablo

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okay hab mitgeschrieben, jetzt ist es mir ein bisschen klarerer.

jetzt drück ich das mal aus:

Die nennerterme werden miteineander multipliziert um den gemeinsamen hauptnenner zu finden. Bei den zähler kann man gleich überkreuzt erweitern, weil das ja die logische schlussfolgerung ist, aus der multiplikation des nennerterms unten.

ja?

02.02.2011, 12:23

baphomet

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GENAU, das heißt bis zum FINDEN des HAUPTNENNERS mithilfe des Erweiterns
ist soweit alles klar. Dann können wir zum nächsten Schritt übergehen,bist du dafür
bereit?

02.02.2011, 12:28

Pablo

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okay also
sieht das jetzt so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{x(x+2)}{3(x-1)(x+2)} + \frac{1*3(x-1)}{3(x-1)(x+2} \end{eqnarray*}$

kurze Zwischenfrage, man tut jetzt hier aber nicht die klammern auflösen wie zB dass im ersten bruch dann klammer aufeglöst oben steht x² + 2x
so wie bei nornmalen gelichunsaufgben, weißt schon, ohne brüche halt

so wie man halt bei normalen aufgabn rechnet oder doch?

02.02.2011, 12:31

baphomet

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Nein, die Klammern löst man nicht auf, denn manchmal wie bei deinem gestrigen
Beispiel kommen Binomische Formeln vor und diese sind leichter anhand von
den Klammern zu erkennen.

Vor allem raubt das Klammern auflösen Zeit, wir sind bestrebt den Nenner zu
eliminieren und den Bruch aufzulösen, deshalb ist es gar nicht notwendig die
Klammern auszumultiplizieren.

Wenn soweit alles klar ist, geht es nun zu Schritt 2. Dieser beinhaltet die
Auflösung des Bruches.

02.02.2011, 12:34

Pablo

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okay gut verstehe!
Dann zeig mir wie man den bruch nun eliminiert! Bitte wieder ganz langsam büdde, damit ichs check

02.02.2011, 12:39

baphomet

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$\begin{eqnarray*} \frac{x \cdot (x+2)}{3(x-1)(x+2)}+\frac{1\cdot 3(x-1)}{3(x-1)(x+2)}<br /> \end{eqnarray*}$

Nachdem wir den Hauptnenner gefunden haben, multiplizieren wir die gesamte
Gleichung mit dem Hauptnenner, wir multiplizeren, es ist also nur der Zähler
betroffen.

$\begin{eqnarray*} \frac{x(x+2)}{3(x-1)(x+2)} \cdot 3(x-1)(x+2)+\frac{3(x-1)}{3(x-1)(x+2)}\cdot 3(x-1)(x+2)=5\cdot 3(x-1)(x+2)<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt befindet sich der Hauptnenner bei den Brüchen im Zähler und Nenner, es lässt
sich kürzen und es entsteht das folgende:

$\begin{eqnarray*} x(x+2)+3(x-1)=5\cdot 3(x-1)(x+2) \end{eqnarray*}$

02.02.2011, 12:47

Pablo

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aber waurum multpliziert man den zähler denn mit dem hauptnenner wieder?

02.02.2011, 12:49

baphomet

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Damit der Nenner verschwindet, somit der Bruch verschwindet und wir die
Gleichung lösen können.

02.02.2011, 12:51

Pablo

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okay also der nächste schritt is nun, den zähler der jeweiligen brüche mit dem hauptnennern zu multiplizieren. und was dann?

02.02.2011, 12:52

baphomet

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Ausmultiplizieren der Klammern

02.02.2011, 12:58

Pablo

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Zitat:

Original von baphomet
Ausmultiplizieren der Klammern

wie meinst?

02.02.2011, 13:00

baphomet

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Die Klammern auflösen, das heißt das.

02.02.2011, 13:02

Pablo

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du meintest doch was von Kürzen, oder das hast du schon gemacht?

02.02.2011, 13:07

baphomet

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Das Haben wir doch schon gemacht, nach dem Kürzen bleibt das hier stehen.

$\begin{eqnarray*} x(x+2)+3(x-1)=5\cdot 3(x-1)(x+2) \end{eqnarray*}$

Jetzt gilt es die Klammern aufzulösen mittels ausmultiplizieren.
Das machst du jetzt mal und schreibst das Ergebnis nieder.

02.02.2011, 13:09

Pablo

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okay eine frage noch, bei dem letzten term, muss man da die bionomische formeln anwenden?

02.02.2011, 13:12

baphomet

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Ich sehe hier keine binomische Formel, einfach ausmultiplizieren der Klammern
und dann zusammenfassen.

Wenn du damit fertig bist schreibst du das Ergebnis hier nieder, damit ich es kontrollieren kann.

02.02.2011, 13:16

Pablo

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okay

x² + 2x + 3x - 3 = 15 * x² + 2x - 1x - 2

5x hoch4 - 3 = 16x² - 2

so?

02.02.2011, 13:19

baphomet

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$\begin{eqnarray*} x^2 + 2x + 3x - 3 = 15 \cdot (x² + 2x - 1x - 2) \end{eqnarray*}$

Jetzt stimmt es, bei dir haben die Klammern gefehlt, aber im folgenden Schritt
hast du deutlich Fehler gemacht. Weißt du wie man zusammenfasst und was
man zusammenfassen kann?

Gleiche Terme können addiert bzw. subtrahiert werden. Somit komme ich zu
folgendem:

$\begin{eqnarray*} x^2+5x-3=15x^2+15x-30 \end{eqnarray*}$

02.02.2011, 13:22

Pablo

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hmm okay und sind wir jetzt fertig?

02.02.2011, 13:24

baphomet

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Stelle nach einer Seite der Gleichung um und löse die entstandene Gleichung.

Bitte zeige mir deinen Lösungsweg.

02.02.2011, 13:27

Pablo

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x² + 5x -3 = 15x² + 15x - 30

x² - 3 = 15x² + 10x -30

x² = 15x² + 10x - 27

soweit stimmts ja oder?

eine frage, wie ist das bei eleminieren von Potenzen? darf man die auch einfach wegballern?

02.02.2011, 13:30

baphomet

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Soweit stimmsts, aber du musst noch das x² auf die andere Seite bringen.

Nein Potenzen lassen sich nicht einfach eliminieren, aber es gibt Lösungsformeln
für Quadratische Gleichungen(Mitternachtsformel, einfachere p-q Formel)

02.02.2011, 13:33

Pablo

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hmm wie mach ich das jetzt hier? Mitternacht und pq kenn ich nicht.
kann ich nicht einfach so machen?

x² = 15x² + 10x - 27

0 = 15 + 10x - 27

oder

0 = 14x² + 10x - 27

02.02.2011, 13:36

baphomet

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$\begin{eqnarray*} 0 = 14x² + 10x - 27 \end{eqnarray*}$

nach der Form:

$\begin{eqnarray*} 0=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$

Mithilfe der Mitternachtsformel kommt man zu den Lösungen:

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt[]{ \frac{b^2-4ac}{ 4a^2}} \end{eqnarray*}$

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