Konvergenz und Divergenz

02.02.2011, 12:39

Medwed

Konvergenz und Divergenz

Hi,

ich verstehe nicht, warum diese Reihe divergiert.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=3}^\infty \frac{n+1}{n^{2} - n - 2} \end{eqnarray*}$

Es ist offensichtlich das die Folge, eine Nullfolge bildet (n gegen unendlich laufen lassen).

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n+1}{n^{2} - n - 2} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich das Quotientenkriterium angewendet und =1
und mit diesem Resultat ist es nicht möglich eine Aussage über Konvergenz und Divergenz zu machen.

Also benötige ich ein anderes Kriterium. Majoranten- oder Minorantenkriterium.
Man vervewendet das Majorantenkriterium für Konvergenz und Minorantenkriterium für Divergenz.
Wenn ich aber nicht weiß, ob die Reihe divergiert oder konververgiert, was soll ich dann anwenden.

Eine Idee hätte ich.
Wenn ich die dominierden Faktoren im Zähler und Nenner betrachte (siehe n gegen unendlich), bleiben nur noch

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n}{n^{2}} = \frac{1}{n} <br /> \end{eqnarray*}$
übrig, und von der harmonischen Reihe weiß ich, dass sie divergiert.

Könnte man das so stehen lassen, oder etwas falsch, ergänzen etc.?

Vielen Dank für eure Hilfe

02.02.2011, 12:46

klarsoweit

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RE: Konvergenz und Divergenz

Zitat:

Original von Medwed
Eine Idee hätte ich.
Wenn ich die dominierden Faktoren im Zähler und Nenner betrachte (siehe n gegen unendlich), bleiben nur noch

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n}{n^{2}} = \frac{1}{n} <br /> \end{eqnarray*}$
übrig, und von der harmonischen Reihe weiß ich, dass sie divergiert.

Mit dieser Idee kannst du überlegen, wie du $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n^2 - n - 2} \end{eqnarray*}$ nach unten so abschätzen kannst, das irgendwas mit c/n rauskommt, wobei c irgendeine passende Konstante ist.

02.02.2011, 13:01

René Gruber

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Nicht, dass es zum Nachweis der Divergenz nötig wäre, aber im vorliegenden Fall ergibt die Faktorisierung des Nenners sogar $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ als einen der beiden Faktoren, so dass nach Kürzen der Bezug zur harmonischen Reihe besonders deutlich und direkt wird. Augenzwinkern

02.02.2011, 13:07

Medwed

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z.B.

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n^2 - n - 2} > \frac{c}{n}, c = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n^2 - n - 2} > \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Oder?

02.02.2011, 13:17

klarsoweit

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Ja, aber ein paar Begründungen können nicht schaden. Augenzwinkern

Aber mit dem Tipp von Rene Gruber kommt man natürlich noch schneller zum Ziel.

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