Eigenräume

02.02.2011, 13:46

MeliW84

Eigenräume

Meine Frage:
Hallo, ich verstehe das mit den Eigenräumen nicht ganz. Besteht der Eigenraum eines Eigenwertes nur aus einem Vektor oder aus Matritzen??

Ich komme einfach mal zu einer Aufgabe:

Ich soll von folgender Matrize A die Eigenwerte und Eigenräume berechnen.
Außerdem entscheiden, ob die Matrix diagonalisierbar ist und wenn ja, eine invertierbare Matrix Q angeben, dass $\begin{eqnarray*} Q^{-1} \end{eqnarray*}$ AQ diagonal ist.

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \in \end{eqnarray*}$ M(3,3) ( $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ )

Meine Ideen:
Also, ich habe zuerst das charakteristische Polynom berechnet:
Dieses lautet: $\begin{eqnarray*} x^{3}-6x^{2}+11x-6 \end{eqnarray*}$
Die Nullstellen, somit die Eigenwerte sind: 1, 2, 3

So, nun komme ich zur Berechnung der Eigenräume.
Für x=1 erhalte ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x & 1 & 2 \\ -2 & x-3 & -2 \\ -1 & -1 & x-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -2 & -2 & -2 \\ -1 & -1 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -2 & -2 & -2 \\ -1 & -1 & -2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} \lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\ \lambda_{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = 0 <==> $\begin{eqnarray*} \lambda1=1, \lambda2=-1 und \lambda3=-1 \end{eqnarray*}$

Somit ist das doch jetzt der Eigenraum, oder?? Also der Eigenraum von x=1 ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das bis jetzt so?? Bzw. sind die Formulierungen richtig?

Der Eigenraum zu x=2 ist dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und zu x=3 $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da jetzt x1,x2 und x3 Element K Eigenwerte sind und v1,v2 und v3 Eigenvektoren (Das sind also die drei Eigenräume, die ich jetzt mit v1,v2 und v3 bezeichne) zu den eigenwerten sind, folgt, dass {v1,v2,v3} linear unabhängig ist ==> {v1,v2,v3} ist Basis von A ==> A ist diagonalisierbar.

Nun soll ich eine invertierbare Matrix Q angeben, so dass Q^(-1)AQ diagonal ist.

Hier habe ich auch ein Problem, weil bei meiner Berechnung keine Diagonale rausgekommen ist, somit frage ich erstmal, ob das, was ich machen will, überhaupt richtig ist:

Ich brauche die Eigenvektorenmatrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ definiert als Q und das Inverse dazu ist doch $\begin{eqnarray*} Q^{-1} = \frac{1}{6} * \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt aber Q^(-1)AQ rechne, kommt folgendes raus: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} * \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und das ist keine Diagonalmatrix!

Ich hoffe, ich habe alles einigermaßen gut beschrieben und meine Probleme erläutert.
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe.

02.02.2011, 14:09

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RE: Eigenräume

Zitat:

Original von MeliW84
Meine Frage:
Hallo, ich verstehe das mit den Eigenräumen nicht ganz. Besteht der Eigenraum eines Eigenwertes nur aus einem Vektor oder aus Matritzen??

Nein, der Eigenraum ist eine Menge von Vektoren, der - wie der Name schon andeutet - ein Untervektorraum ist. Insofern reicht es, für den Eigenraum eine Basis anzugeben.

Zitat:

Original von MeliW84
und das Inverse dazu ist doch $\begin{eqnarray*} Q^{-1} = \frac{1}{6} * \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nein, wie man leicht nachrechnet. Augenzwinkern

02.02.2011, 14:15

MeliW84

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RE: Eigenräume
Also ist der Eigenraum die Menge der Eigenvektoren?? Aber dann haut doch das nicht hin, dass es einen Eigenraum zu JEDEM Eigenwert gibt. oder ist das dann immer derselbe?? Also die Menge der Eigenvektoren. Ich kapier das nicht ganz!

Zu Q^(-1)
dann weiß ich nicht genau, wie man das Inverse einer 3x3 Matrix berechnet.
Hab so ne Formel im Internet gefunden und somit komme ich auf das Ergebnis.
Kannst du mir da mal helfen?

02.02.2011, 14:40

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RE: Eigenräume

Zitat:

Original von MeliW84
Also ist der Eigenraum die Menge der Eigenvektoren??

Klares jein. Zu jedem Eigenwert gibt es einen Eigenraum, die aus der Menge der Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert besteht.

Zitat:

Original von MeliW84
Zu Q^(-1)
dann weiß ich nicht genau, wie man das Inverse einer 3x3 Matrix berechnet.
Hab so ne Formel im Internet gefunden und somit komme ich auf das Ergebnis.
Kannst du mir da mal helfen?

Da müßtest du mal sagen, was du gerechnet hast. Im übrigen wird das Verfahren in der Vorlesung besprochen und es gibt dazu auch ausreichend Literatur.

Daß dein Q^(-1) nicht die inverse Matrix von Q ist, prüfst du leicht, wenn du mal Q^(-1) * Q rechnest.

02.02.2011, 15:16

MeliW84

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RE: Eigenräume

Zitat:

Klares jein. Zu jedem Eigenwert gibt es einen Eigenraum, die aus der Menge der Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert besteht.

Ja, genau das is es ja! Zu meinem Eigenwert x1 z.B. gibt es ja nur einen Eigenvektor! Also welche Menge von Vektoren meinst du??

Wir hatten in der vorlesung die Cramersche Regel.
Also:
http://de.wikipedia.org/wiki/Reguläre_Ma...Cr_3x3-Matrizen

Und so hab ich das Inverse bestimmt.

Aber ich hab mich verrechnet!!!

also Q^(-1)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber wenn ich jetzt Q^(-1)AQ rechne, kommt ein Schmarrn raus,und zwar:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

02.02.2011, 15:27

MeliW84

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RE: Eigenräume
Ich hab jetzt die Lösung!! Habs falsch hingeschrieben auf mein Blatt!
Jetzt gehts!

Q^(-1)AQ= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Passt das jetzt so??
Wenn ja, dann gibt es jetzt nur noch das Verständnisproblem mit dem Eigenraum zu lösen!

02.02.2011, 15:31

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RE: Eigenräume

Zitat:

Original von MeliW84

Zitat:

Klares jein. Zu jedem Eigenwert gibt es einen Eigenraum, die aus der Menge der Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert besteht.

Ja, genau das is es ja! Zu meinem Eigenwert x1 z.B. gibt es ja nur einen Eigenvektor! Also welche Menge von Vektoren meinst du??

Nein. Zu lambda = 1 gibt es nicht nur den Eigenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , sondern jeder Vektor der Form $\begin{eqnarray*} a \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist ein Eigenvektor. Es gibt eben nicht den Eigenvektor, sondern immer einen Eigenraum. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist allenfalls eine mögliche Basis des Eigenraums.

02.02.2011, 15:38

MeliW84

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RE: Eigenräume

Zitat:

Nein. Zu lambda = 1 gibt es nicht nur den Eigenvektor , sondern jeder Vektor der Form ist ein Eigenvektor.

Achso, also ist eigentlich der Eigenvektor und der Eigenraum dasselbe, bis auf das, dass der Eigenraum aus Vektoren besteht , die man mit dem eigenwert findet und der Variablen alpha?!!

Stimmt eigentlich die Aufgabe jetzt und ist die Begründung der Diagonalisierbarkeit in Ordnung?

UNd ich hab dann noch ne Frage:

Wenn ich jetzt eine 3x3 Matrix hab, die 2 Eigenwerte hat. Und bei einem Eigenwert bekomm ich 4 verschiedene Eigenvektoren raus.
Beim zweiten EW zwei Eigenvektoren.
Welche und wie viele brauche ich davon, um wieder Q^(-1)AQ auszurechnen. Denn ich muss ja das Q mit einer 3x3 Matrix darstellen, oder???

Bei der obigen Aufgabe wars ja klar, da ich für jeden Eigenwert einen Eigenvektor bekommen hab und das waren ja schon 3!

02.02.2011, 15:53

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RE: Eigenräume

Zitat:

Original von MeliW84
Achso, also ist eigentlich der Eigenvektor und der Eigenraum dasselbe, bis auf das, dass der Eigenraum aus Vektoren besteht , die man mit dem eigenwert findet und der Variablen alpha?!!

Mathematisch gesehen ist das nicht dasselbe. Ein Tortenstück ist eben nicht dasselbe wie die ganze Torte, obwohl jedes Tortenstück beim Essen die gleichen Geschmackssignale hervorruft. Augenzwinkern

Zitat:

Original von MeliW84
Wenn ich jetzt eine 3x3 Matrix hab, die 2 Eigenwerte hat. Und bei einem Eigenwert bekomm ich 4 verschiedene Eigenvektoren raus.
Beim zweiten EW zwei Eigenvektoren.

Eine Matrix kann maximal soviele linear unabhängige Eigenvektoren haben, wie sie Zeilen hat. smile

02.02.2011, 15:59

MeliW84

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RE: Eigenräume
Das heißt, ich muss bei den verschiedenen Eigenvektoren die drei finden, die zueinander linear unabhängig sind und diese bilden dann Q??

02.02.2011, 16:02

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RE: Eigenräume
Ja, wobei das kein Problem darstellt, denn du mußt nur für jeden Eigenwert lambda den Kern der Matrix $\begin{eqnarray*} A - \lambda \cdot Id \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Problem ist nur, wenn die Anzahl der Basisvektoren der Eigenräume kleiner als die Zeilenzahl der Matrix ist. Dann ist eben A nicht diagonalisierbar.

02.02.2011, 16:05

MeliW84

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RE: Eigenräume
Ja, damit hab ich ja dann die Eigenvektoren gefunden!

Also ist die Aufgabe jetzt so richtig??

02.02.2011, 17:44

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RE: Eigenräume
Ja.

02.02.2011, 18:09

MeliW84

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RE: Eigenräume
Ok, vielen Dank für deine Hilfe und vor allem deine Geduld ;-)

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