Einsetzungshomomorphismus

02.02.2011, 14:29	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Einsetzungshomomorphismus Meine Frage: Sei R Ring und $\begin{eqnarray} x\in R \end{eqnarray}$ . Man betrachte den Einsetzungshomomorphismus $\begin{eqnarray} \Phi_x:R[X]\to R, \sum a_iX^i\mapsto \sum a_ix^i \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass der Kern von $\begin{eqnarray} \Phi_x \end{eqnarray}$ das von $\begin{eqnarray} X-x \end{eqnarray}$ erzeugte Hauptideal ist. Meine Ideen: Meine Idee ist Folgendes: Sei $\begin{eqnarray} J \end{eqnarray}$ das von $\begin{eqnarray} X-x \end{eqnarray}$ erzeugte Hauptideal. zz.: $\begin{eqnarray} ker(\Phi_x)=J \end{eqnarray}$ . Beweis: $\begin{eqnarray} "\supseteq" \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} J=R[X](X-x)=\left\{r(X-x);r\in R[X]\right\} \end{eqnarray}$ Hierbei handelt es sich um Polynome mit abgespaltenem Linearfaktor $\begin{eqnarray} (X-x) \end{eqnarray}$ , d.h. diese Polynome haben die Nullstelle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und liegen somit im Kern von $\begin{eqnarray} \Phi_x \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} "\subseteq" \end{eqnarray}$ ????? Ich weiß nicht, wie diese Inklusion zu zeigen geht. Hat jemand einen Tipp für mich, wie man das machen kann? EDIT: [Ich würde so anfangen: Sei $\begin{eqnarray} f\in ker(\Phi_x) \end{eqnarray}$ . Dann muss f x als Nullstelle haben, ist also teilbar durch (X-x). Argumentiert man jetzt irgendwie über die Division mit Rest, indem man sagt, dass man f schreiben kann als $\begin{eqnarray} f=q(X-x)+r \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} q,r\in R[X] \end{eqnarray*}$ ?]
02.02.2011, 17:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist also die Unbestimmte, $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ dagegen ein Element des Koeffizientenrings. $\begin{eqnarray} \Phi_x: \ p(X) \mapsto p(x) \end{eqnarray}$ Meiner Meinung nach siehst du das vollkommen richtig: $\begin{eqnarray} p(X) \in \operatorname{Kern}(\Phi_x) \ \ \Leftrightarrow \ \ p(x) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ X-x \ \| \ p(X) \end{eqnarray}$ Und das ist doch schon die Behauptung. Denn daß $\begin{eqnarray} p(X) \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} X-x \end{eqnarray}$ teilbar ist, heißt ja gerade, daß $\begin{eqnarray} p(X) \end{eqnarray}$ Vielfaches von $\begin{eqnarray} X-x \end{eqnarray}$ ist, also in dem von $\begin{eqnarray} X-x \end{eqnarray}$ erzeugten Ideal liegt. Oder übersehe ich da etwas? Sind übrigens über den Ring nicht weitere Voraussetzungen zu machen: Integritätsbereich oder ähnlich?
02.02.2011, 18:55	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Ich freue mich, dass meine Idee bei Dir auf Zustimmung stößt. 2. Ich weiß nicht, ob Du da was übersiehst, ehrlich gesagt: Ich hoffe nicht, denn ich kann ja auch ruhig mal richtig liegen! 3. Weitere Voraussetzungen waren in der Aufgabenstellung nicht gegeben, falls Du das meintest.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »