Pyramide in zwei gleichgroße Teile teilen, bei welchem t?

26.11.2006, 16:55	epsilonumgebung	Auf diesen Beitrag antworten »
Pyramide in zwei gleichgroße Teile teilen, bei welchem t? Und zwar sind folgende Punkte gegeben: A(5\|0\|1) B(0\|4\|2) C(0\|0\|t) (Sind von Anfang an gegeben) Diese bilden ein Dreieck Dann gibt es die Punkte: A'(6\|0\|0) B'(0\|6\|0) C'(0\|0\|0) S(0\|0\|6) Diese bilden eine Pyramide, die Punkte A',B',C' sind dabei Spurpunkte der Geraden SA,SB,SC, mit der Koordinatenebene x3=0 also der x1-x2-Ebene. Nun soll ich das t so ermitteln, dass dieses Dreieck ABC die Pyramide SA'B'C' in zwei volumengleiche Körper teilt. Das Problem für mich hier ist, was mich auch etwas verwirrt, dass in einer Skizze für ein beliebiges t die Punkte A und B nicht auf den Strecken SA' und SB' liegen, der Punkt C liegt jedoch auf der Strecke SC. Ich hab mir jetzt gedacht, dass ich das Dreieck ABC als Ebene betrachte und für die Strecken SA' und SB' den Durchstoßpunkt berechne und damit dann weiterrechne, da dann alle Punkte auf den Kanten der Pyramide liegen. Allerdings erscheint mir persönlich diese Vorgehensweise irgendwie falsch, so dass ich hier nicht wirklich weiter komme. Über den entscheidenden Tipp oder Hinweis wäre ich sehr froh
26.11.2006, 20:20	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn A' ein Spurpunkt der Geraden SA ist, MUSS doch der Punkt A auf der Seitenkante der Pyramide SA'B'C' liegen, desgleichen gilt dies auch für B, das ist doch klar! Die Skizze ist daher falsch bzw. ungenau. Die beiden Geraden A'A und B'B schneiden sich auch tatsächlich in der Spitze S(0;0;6). Bei SA'B'C' handelt es sich um eine schiefe dreiseitige Pyramide mit der Höhe 6, für die kleinere Pyramide SABC muss dies nicht zutreffen. Berechne zuerst (leicht) das Volumen der großen Pyramide; danach das Volumen der kleinen, welches nur noch den Parameter t (vom Punkt C) enthält. Setzt du das Volumen der kleinen gleich dem halben der großen Pyramide, ergibt dies eine Gleichung für t und damit die Lage von C. Hinweis: Verwende für das kleinere Volumen vorzugsweise $\begin{eqnarray} V = \frac {1}{6} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \end{eqnarray}$ mY+
26.11.2006, 22:13	epsilonumgebung	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das werde ich machen. Ich habe mal eine genaue Zeichnung der Pyramide SA'B'C' und des Dreieckes ABC gemacht, aber dennoch ist B außerhalb der Pyramide. A liegt auch außerhalb, aber nur wegen einer leichten Ungenauigkeit. Ich habe die Punkte B und B' so eingetragen: B' ist ja logisch, er liegt auf der X2-Achse bei 6. B liegt 2LE über der X2-Achse und 4LE von der X3-Achse entfernt und auf X1=0. Dennoch liegt B nicht auf SB'... komisch... Und C muss ja auf SC' liegen. Die große Pyramide hab ich mit der üblichen Formel V=1/3Aoh berechnet und da kam 18VE raus, stimmt das soweit? Das Kreuz in der Formel, steht das für das Kreuzprodukt? Das möchte ich ungern benutzen, da wir das bisher noch nicht hatten im Unterricht.
26.11.2006, 22:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ao = 18, h = 6 -> Dein V stimmt daher nicht. Um die Zeichnung anschaulich zu gestalten, solltest du ein Schrägrißbild anfertigen. Da die Rechnung zeigt, dass sich A'A und B'B in S schneiden, müssen beide Punkte A, B exakt auf den Seitenkanten der Pyramide liegen. Ohne Kreuzprodukt wird's weit komplizierter bzw. umständlicher. Dazu ist die Fläche des Dreieckes A,B,C und die Gleichung der Ebene in t aufzustellen (diese ist nicht mehr parallel zur x1,x2 - Ebene), dann noch die Höhe als Normalabstand des Punktes S zu dieser Ebene. mY+
26.11.2006, 23:13	epsilonumgebung	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach hab mich vertan, sorry. Grundfläche ist 18FE, Höhe ist 6LE, da ist das Volumen 36VE Hmm, meine Zeichnug ist ja schon ein Schrägrissbild. X2 und X3 stehen Senkrecht aufeinander und alle 2 Kästchen ist 1 LE und X1 geht im 45 Grad Winkel nach links unten und alle 1 Kästchen ist 1 LE, also so wie wir es gelernt haben habe ich das gemacht.
26.11.2006, 23:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, V stimmt nun. Auch im Schrägrißbild, wie du es gezeichnet hast, liegt B (wegen des Strahlensatzes) bei x2 = 4 genau 2 LE über x2 und A bei x1 = 5 genau 1 LE über x1. Ich verstehe nicht, was dabei dein Problem ist. mY+
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26.11.2006, 23:45	epsilonumgebung	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte sichergehen, dass meine Zeichnung richtig ist, was sie ja anscheinend ist, aber das B nicht auf SB' liegt in der Zeichnung, dass raff ich nicht... Naja, ich werd erstmal ne Nacht drüber schlafen, Ich danke dir Eine Bitte hätte ich aber noch, könntest du kurz erklären, wie ich das mit dem Kreuzprodukt berechnen muss? Das was im Tafelwerk steht, hilft mir nicht wirklich weiter.
27.11.2006, 00:18	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ t-1 \end{pmatrix} = ... \end{eqnarray}$ Du schreibst die beiden Vektoren komponentenweise zu einer Determinante nebeneinannder und ergänzt die dritte Spalte durch die Einheitsvektoren $\begin{eqnarray} \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} .. = \begin{vmatrix} -5 & -5 & \vec{i} \\ 4 & 0 & \vec{j} \\ 1 & t-1 & \vec{k} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Nun streichst du nacheinander immer jene Zeile, in der die zu berechnende Komponente steht und schreibst im Ergebnis jene Determinante, die aus den übrigbleibenden Zeilen entsteht und nimmst die mittlere negativ (Auflösungsatz einer Determinante nach den Elementen einer Zeile oder Spalte in Unterdeterminanten, hier nach den Elementen der dritten Spalte). Beispiel: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & \vec{i} \\ 1 & 2 & \vec{j} \\ 2 & 2 & \vec{k} \end{vmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 - 2 \cdot 2 \\ -(1 \cdot 2 - 2 \cdot 3) \\ 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mY+

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