Eigenwert ausrechnen |
| 02.02.2011, 19:12 | Patricia1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Eigenwert ausrechnen a) Eigenwerte ausrechnen b) Eigenvektoren bestimmen c) Ist die Matrix A diagonalisierbar? Wenn ja, dann Transformationsmatrix T und D ermitteln d) A^5 berechnen Meine Ideen: a) Also ich habe nun erstmal die neue Matrix - Nun rechne ich die det durch SARRUS aus, um diese dann = 0 zu setzen. Nach SARRUS bekomme ich dann raus: [(1-x)*(-2-x)²+8] als Hauptdiagonale = -x³-3x²+4 [(-2-x)*4+(1-x)+ 4*(-2-x)] als Nebendiagonale =(-8-4x)+(1-x)+(-8-4x) => Nun HD - ND -x³-3x²+4-(-8-4x)-(1-x)-(-8-4x) Ist dies soweit noch richtig?? |
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| 02.02.2011, 19:29 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mein CAS liefert 27 als konstantes Glied, sonst dasselbe wie bei dir. |
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| 02.02.2011, 19:51 | Stuhl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab auch als konstantes Glied 27 Dann ists eig. ein schönes Polynom Spoiler: Imo ist die Matrix nicht diagonalisierbar, da es nur 2 EW (-3,3) gibt und somit ist |{Eigenwerte}| < n = 3 |
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| 02.02.2011, 20:01 | Patricia1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm 27 anstatt 4?? |
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| 02.02.2011, 20:04 | ES | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kommst du immer noch auf 4? @Stuhl: Deine Begründung warum die Matrix nicht diagonalisierbar ist, ist einfach falsch. Du musst die algebraische und geometrische Vielfachheit der Eigenwerte betrachten. Eine 3x3 Matrix kann sehr wohl diagonalisierbar sein, wenn sie nur 2 verschiedene Eigenwerte hat. Aber so weit sind wir ja noch gar nicht :-) Grüße ES |
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| 02.02.2011, 20:06 | Patricia1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Spoiler: Imo ist die Matrix nicht diagonalisierbar, da es nur 2 EW (-3,3) gibt und somit ist |{Eigenwerte}| < n = 3[/quote] Eigentlich ist die Matrix diagonalisierbar, da sie einer Diagonalmatrix ähnlich ist. Wenn ich sie an der Hauptachse spiegele, dann bekomme ich die selben Zahlen heraus. Sie ist also symmetrisch und A = A^T |
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| 02.02.2011, 20:12 | Patricia1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ ES: jaa 
ich rechne Nach meiner Rechnung Hauptdiagonale - Nebendiagonale habe ich : (1-x)*(-2-x)²+2*2*1+2*2*1 = das ergibt für mich 4 |
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| 02.02.2011, 20:17 | ES | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wo siehst du da den Unterschied? Ja und wo lässt du deine "Minus-Diagonalen"? Schau dir nochmal ein Bild von Sarrus an:  https://elearning.mat.univie.ac.at/physikwiki/images/2/2b/Regel_von_Sarrus.GIFGrüße ES |
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| 02.02.2011, 20:21 | Patricia1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke ;-) Ja die Regel von Sarrus kenne ich, meine Nebendiagonale hatte ich doch schon ganz oben am Anfang meines Beitrages angegeben. Den Wert will ich ja von der Hauptdiagonalen abziehen. (-2-x)*2*2 + 1*1*(1-x)+ 2*2*(-2-x) x für lambda ( ist kürzer
)aber genau da war ja meine Frage, ich kriege diese Gleichung nicht aufgelöst. Also wenn ich jetzt Haupt- Nebendiagonale mache kommt ja ein unglaublich langer Term da raus |
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| 02.02.2011, 20:27 | Stuhl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm. @ES: Angenommen es gäbe einen Eigenwert 2mal (also doppelte Nullstelle im char. Polynom). Dann hat man doch auch 2mal den gleichen Eigenvektor... und dann ist bei mir die Matrix zum Diagonalisieren (die ja aus den Eigenvektoren besteht) linear abhängig... Egal, ich werd den Thread einfach mal weiter beobachten, bevor ich jetzt hier OT-posts schreibe :P Ich denke mal am Ende werden meine Fragen geklärt sein. |
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| 02.02.2011, 20:31 | ES | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist nicht richtig. Du wirst in deinem LGS 2 Nullzeilen erhalten und somit einen zweidimensionalen Eigenraum rauskriegen. Die beiden Richtungsvektoren (die Eigenvektoren zum doppelten Eigenwert) müssen nicht orthogonal aufeinander stehen. Linear unabhängig sind sie aber. @Patricia Ich habe deine Rechnung nicht nachgeprüft. Aber bei Berechnung des Polynoms kommen schon unteranderem längere Terme vor. Nur nichts ausmultiplizieren was du später bereust ;-) Grüße ES |
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| 02.02.2011, 21:11 | Stuhl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ES: Hm, Könntest du mir vielleicht ein Beispiel geben? Wie du schon sagst, hab ich bei dem einen LGS 2 Nullzeilen. also ker(von nur noch einer Zeile) Jedoch hängt diese Zeile von allen (in diesem Fall drei) Faktoren hab. Ich habe also z.B. 4x1+2x2+2x3=0 - > x1 = 1, x2=-1, x3=1 Und alle anderen Kombinationen sind ja wohl eine Linearkombination davon. - > meine Diagonalisiermatrix ist dann am Ende linear abhängig, bzw. eine Zeile wird 0 - > Ich kann diese dann nicht auf die Ausgangsmatrix anwenden... |
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| 02.02.2011, 22:11 | ES | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schreibe dir sauber alle Gleichungen auf: Setzt du nun Gleichung 2 und 3 in 1 ein: Jetzt weißt du bestimmt wie es weitergeht. Grüße ES |
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| 04.02.2011, 14:19 | Stuhl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ähm... Nein. Meiner Meinung nach ist die Matrix immer noch nicht-diagonalisierbar. Ich hab da heut mit einigen Leuten rumgerechnet... und wir kommen einfach auf keine Diagonalisiermatrix... Also, falls du Lust hast, kannst du ja einfach mal deine ganze Lösung posten. Ich wäre dir sehr dankbar :P Viel ist ja eh nicht mehr... |
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