Affine Normalform einer Quadrik

02.02.2011, 22:33

Emrah

Affine Normalform einer Quadrik

Q: x²+xy+3x+y-1=0

also (x y) * A * (x y) + (3 1) * (x y) = 1

Die affine Normalform sowie der Typ des Kegelschnitts ist zu berechnen.
Wann versuche ich diese per Eigenwerte und Eigenvektoren, und wann versuche ich es per quadratischer Ergänzung zu lösen? Gibt es da einen Trick? Irgendein "Signal" ?

Ich habe beides versucht, die quadratische Ergänzung brachte folgendes Teilergebnis:

x²+xy+3x+y-1=0

(x²+y²+1²+2xy+2x+2y) -y²-1-xy+x-y -1=0
(x+y+1)² -(y²+xy-x+y+2)=0

Nun weiß ich leider nicht weiter....

______________________

Also habe ich es über die Eigenwerte versucht:

det(A-L*E) = -L +L² -0.25

L1/2= [1+/- "Wurzel 2"] / 2

Dieses Lambda ist leider nicht so einfach zu nutzen, um dann die zwei Eigenvektoren zu berechnen, die ich benötige um die orthogonale Matrix P zu berechnen, so dass gilt: P^T*A*P=D (Diagonalmatrix mit L1 und L2 in der Diagonale)

Ich komme einfach nicht weiter, würde mich freuen, ein paar gute Tipps fürs anstehende Examen zu bekommen Gott

...

02.02.2011, 23:33

Ibn Batuta

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Hallo Emrah,

ein sehr schöner Vorname übrigens. Augenzwinkern

Würde es so angehen...

$\begin{eqnarray*} x^2+xy+3x+y-1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+\frac 1 2 y)^2 -\frac 1 4 y^2+3x+y-1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+\frac 1 2 y)^2 -\frac 1 4 y^2+(3x+\frac 1 4y)+\frac 3 4y-1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{x}^2+3x -(\frac 1 2 y+\frac 3 4)^2 + \frac 3 4 - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \overline{x}=x+\frac 1 2 y \end{eqnarray*}$ ...

Ibn Batuta

02.02.2011, 23:55

Emrah

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danke (wegen namen Wink

)

Wie kommst du von dieser Zeile
$\begin{eqnarray*} (x+\frac 1 2 y)^2 -\frac 1 4 y^2+(3x+\frac 1 4y)+\frac 3 4y-1 = 0 \end{eqnarray*}$

auf diese?... mir ist das 2. Binom nicht klar wie es zustande kam... verwirrt

$\begin{eqnarray*} \overline{x}^2+3x -(\frac 1 2 y+\frac 3 4)^2 + \frac 3 4 - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

03.02.2011, 08:55

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Emrah
$\begin{eqnarray*} \overline{x}^2+3x -(\frac 1 2 y+\frac 3 4)^2 + \frac 3 4 - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Hier habe ich auch einen Bock geschossen. Es muss heißen:

$\begin{eqnarray*} \overline{x}^2+3x -(\frac 1 2 y+\frac 3 4)^2 + \frac 9 {16} - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

14.02.2011, 12:26

Emrah

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$\begin{eqnarray*} \overline{x}^2+3x -(\frac 1 2 y+\frac 3 4)^2 + \frac 9 {16} - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Bin sicher, dass in deiner obigen Lösung noch ein + 1/4y fehlt...

Nach Fortführung deiner Lösung und Ergänzung der 1/4y komme ich auf folgendes
Ergebnis:

w² - z² + 3x + 1/4y + 9/16 = 1

mit

w= x + 1/2y
z= 1/2y - 3/4

Damit ich sagen kann, es handelt sich um eine Hyperbel, müsste das Restglied "3x+1/4y+9/16" wegfallen, jedoch bekomme ich es nicht weg.
Oder gibt es eine Quadrik der Form:

a²-b²+c=1 ?

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