Epsilonumgebung veranschaulicht?

02.02.2011, 22:48

Schrumpfhirn

Epsilonumgebung veranschaulicht?

Meine Frage:
Hallo ihr lieben Mathekönner,

leider bin ich kein solcher und so kurz vor den ersten Klausuren schwirrt mir der Kopf, denn ich ich habe keine Vorstellung, wie ich die Epsilonumgebung interpretieren kann. Mir fehlt genau genommen ein anschauliches Bild dieser Begrifflichkeit. Ich höre immer nur

"Beweisen Sie, dass zu jedem Epsilon > 0 ein N(Epsilon) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ existiert, so dass $\begin{eqnarray*} | a_{n} - a | < Epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ N(Epsilon) gilt"

Leider kann ich mir nicht viel darunter vorstellen und auch im Internet habe ich nicht viel gefunden, was mir auf die Sprünge hilft. Nun hatte ich bereits bei der Grenzwertberechnung bzw. allgemein bei konvergenten Folgen das Problem; nun kommt auch noch die Definition für die Cauchy-Folge dazu, die ich mir gleich gar nicht vorstellen kann.

Viell. gibt es hier jemanden, der das meinem kleinen und ausgelaugten Gehirn näher bringen könnte und somit den berühmten Schalter umlegt?!
Vor allem kann ich mir nichts unter N(Epsilon) vorstellen; welcher Wert verbirgt sich dahinter? Ein x-Wert? Der Funktionswert von x? Etwas anderes?

Danke im Voraus für jegliche Erklärungsansätze (insbesondere die, die nicht mit weiteren Fachbegriffen vollgestopft sind, auch wenn sich's vermutlich nicht vermeiden lässt...)

Meine Ideen:
Bisher stelle ich mir Epsilon als einen Abstand vom Grenzwert vor, der (bildlich gesprochen), je weiter man in der Folge voranschreitet, immer kleiner wird, bis er letztlich fast in den Grenzwert selbst übergeht. Unser Prof meinte, es sei wie eine Tapete, die man ausrollt. Je weiter man nach rechts kommt (wenn wir davon ausgehen, dass die Folge im ersten Quadranten gegen einen bestimmten Wert konvergiert, wie zB. die typische 1/n-Folge), desto schmaler könnte man die Tapete wählen.
Trotzdem komme ich nicht weiter...

02.02.2011, 23:02

tigerbine

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RE: Epsilonumgebung veranschaulicht?
Was möchtest du zeigen? Dass die Folge $\begin{eqnarray*} \{a_n\} \subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \in\mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergiert? Nun wählen wir so ein Epsilon. Es ist also eine feste positive Zahl. Was soll man nun zeigen? Dass es einen Folgenindex $\begin{eqnarray*} N(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ gibt, ab dem für alle weiteren Folgenglieder gilt:

$\begin{eqnarray*} a_n \in [a-\varepsilon, a + \varepsilon] \quad \forall n \geq N(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ (*)

Diese Umgebung ist also ein Intervall. Im IR² wäre es ein Kreis mit Radius Epsilon. Kannst du dir nun unter dieser Umgebung mehr vorstellen? $\begin{eqnarray*} N(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ soll nur Ausdrücken, dass der Folgenindex, ab dem alle weiteren Folgenglieder in dem Intervall (*) liegen, von epsilon abhängt. Macht ja irgendwie auch Sinn, oder?

$\begin{eqnarray*} a_n \in [a-1000, a + 1000] \quad \forall n \geq N(1000) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n \in [a-0.1, a + 0.1] \quad \forall n \geq N(0.1) \end{eqnarray*}$

Das wichtige am Ende ist, dass es zu jedem noch so kleinen epsionlon dann einen Folgenindex gibt, ab dem alle Folgenglieder in dem ganz kleinen Intervall um a liegen.

Ich hoffe, ich konnte es dir etwas veranschaulichen. Erstaunt2

02.02.2011, 23:20

Schrumpfhirn

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Das mit dem Kreis mit Radius Epsilon hatte ich auch schon gelesen, hat mich aber leider nicht so richtig weiter gebracht.

N stellt also einen Index dar, quasi das N-te Folgenglied? Oder liege ich falsch?!

Einigermaßen verstanden habe ich, dass ab einem gewissen Epsilon eben alle Folgenglieder (oder soll es Folgeglieder im Sinne von "alle FOLGENDEN Glieder" heißen?) in diesem frei gewählten Epsilon-Bereich liegen. Je größer der Index, desto kleiner müsste dann doch das Epsilon sein können, weil sich die Folge immer weiter einem Wert a (dem Grenzwert) annähert.

Warum ziehe ich denn bei der Berechnung von (ja, von was eigentlich??) Epsilon(???) den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ab?

Ich danke dir für deine liebe Hillfe!

02.02.2011, 23:25

tigerbine

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Man hätte auch $\begin{eqnarray*} |a-a_n| \end{eqnarray*}$ schreiben können. Augenzwinkern

Machen wir uns mal klar, dass dies ja ein Spezialfall ist. Spielen wir eine Dimension höher. Dann hast du kein Intervall mehr, sondern einen Kreis um eben - den Grenzwert a - mit Radius Epsion.

Nimm nun ein Blatt Papier, mal ein Kreuz drauf. Schreibe a hin. Dann zeichne einen Kreis um a. Nun Punktest du wild auf deinem Blatt herum, aber mit dem Ziel eine konvergente Folge gegen a zu malen. Irgendwann kommt der "Punk", ab dem du nur noch innerhalb des Kreises wild rumtupfen darfst.

Und das gilt nun eben für jeden Kreis um das a.

02.02.2011, 23:34

Schrumpfhirn

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Ok, das habe ich Augenzwinkern

Den Kreis könnte man immer kleiner machen - Er darf nur nicht Null sein, denn dann würde er quasi der Grenzwert selbst sein (und keine Folgeglieder mehr beinhalten, da die Folge zwar nach a strebt, dort aber nie ankommen wird) - richtig?

So weit, so gut. Nun muss ich mir nochmal anschauen, wie ich dann

1. die Größe von Epsilon berechne, wenn ein Folgenglied gegeben ist und
2. wie ich das Folgenglied bereche, wenn Epsilon vorgegeben ist

Wie kann ich mir das Ganze denn dann bei der Cauchy-Folge vorstellen? Dort berechnet man ja irgendwie die Differenz zweier beliebiger Folgeglieder, nur wie ist das bildlich vorzustellen?

(Allgemein könnte ich sagen, dass n mein x-Wert und das Ergebnis - bei 1/n für n=10 also 1/10 - mein Y-Wert ist? Also mein f(x)??)

Tanzen

02.02.2011, 23:47

tigerbine

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Das kommt auf die Folge an. Der Fall, dass ab einem bestimmten Folgenglied alle weiteren Folgenglieder konstant a sind, ist nun halt mathematisch eher langweilig. Dennoch möglich. Augenzwinkern

Zitat:

So weit, so gut. Nun muss ich mir nochmal anschauen, wie ich dann 1. die Größe von Epsilon berechne, wenn ein Folgenglied gegeben ist und 2. wie ich das Folgenglied bereche, wenn Epsilon vorgegeben ist

Das hängt immer von der konkreten Folge ab. Und ist eine Übungssache.

Für tiefere Sachen zur Cauchy-Folge bin ich nicht die richtige Ansprechpartnerin. http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge

Bleiben wir aber mal bei dem Tupfbeispiel. Da war der Spielauftrag für festes Epsilon ja "nur", dass du in dem Kreis bleibst. Dennoch hat dies auch schon Auswirkung auf den Abstand von deinen neuen Folgenpunkten gehabt, oder? Augenzwinkern

Denn die mussten auch in dem Kreis sein. Der maximale Abstand zweier Punkte ist also der Durchmesser.

$\begin{eqnarray*} (a_i)_{i\in \mathbb{N}} \;\text{ ist Cauchy-Folge }\quad \iff \quad \forall \varepsilon>0 \; \exists N\in\mathbb{N} \; \forall m,n \ge N: \;\left|a_m-a_n \right|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

Wir geben uns also mal ein epsilon vor: $\begin{eqnarray*} \varepsilon=1 \end{eqnarray*}$ . Nun suchen wir in der Folge einen (kleinsten) Index N, so dass gilt: Für alle Indizes m,n größer gleich N, ist der Abstand der zugehörigen Folgenglieder maximal 1. Insbesondere gilt dies für benachbarte, also m:=n+1. Da epsilon nun beliebig klein werden kann, rücken die Folgenglieder auch immer "enger" zusammen.

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