Eigenvektor, Eigenwerte und Eigenraum ohne gegebene Matrix - Seite 2

03.02.2011, 16:25

hnky

Zitat:

Original von DimaWydad
die lösung wird total blöd sein aber anderswie kapier ich das nicht... wen ich einsetzte und ausrechne dann komm ich auf den einheitsvektor. Was muss man wo einsetzten und was ausrechnen? ich hab mich damit schon befasst nur ist es mir nicht bewusst wie ich einen eigenwert ausrechnen soll ohne matrix.. ist aber jetzt egal!

du musst

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = a v_1 + b v_2 + c v_3 = -2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +1 \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +1\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

in den ausdruck

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \phi_A(e_1)=\phi_A(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

einsetzen.

edit:

Zitat:

kommt da $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus wenn man das mit dem eigenwert -1 mal nimmt wie bei aufgabe 1?

nein.

03.02.2011, 16:29

DimaWydad

Auf diesen Beitrag antworten »

das ist jetzt total fräch von mir aber was soll genau rauskommen?^^ es tut mir echt leid da blick ich nicht durch

03.02.2011, 16:30

MathMonkey

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \phi_A(e_1)=\phi_A(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

ich hab kein plan wie ich das in diesen ausdruck einsetzen soll ich glaube das hatten wir noch garnicht verwirrt

03.02.2011, 16:32

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

der nächste schritt wäre:

$\begin{eqnarray*} \phi_A(e_1)=\phi_A(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} )=\phi_A(a v_1 +b v_2 + c v_3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi_A \end{eqnarray*}$ ist eine LINEARE abbildung.

wenn ihr jetzt immer noch nicht weiter wisst, dann weiß ich bald auch nicht mehr weiter.

03.02.2011, 16:37

DimaWydad

Auf diesen Beitrag antworten »

ich geh bald auch kaputt... wenn man das mit dem einheitsvektormultipliziert dann bekommt man die erste spalte von A. Aber du meinst ist jetzt egal nicht auf A schauen nur auf die Abbildung schauen!

so zusammengerechnet bekomme ich hier den einheitsvektor... bitte sag uns was du mit all dem meinst ich will das verstehen!

03.02.2011, 16:40

MathMonkey

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hnky
der nächste schritt wäre:

$\begin{eqnarray*} \phi_A(e_1)=\phi_A(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} )=\phi_A(a v_1 +b v_2 + c v_3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi_A \end{eqnarray*}$ ist eine LINEARE abbildung.

wenn ihr jetzt immer noch nicht weiter wisst, dann weiß ich bald auch nicht mehr weiter.

das bildet ja auf $\begin{eqnarray*} C^3 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} C^3 \end{eqnarray*}$ ab. d.h. dann kommt das hier raus $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} A\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ? und A bleibt unbekannt???

03.02.2011, 16:45

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DimaWydad
ich geh bald auch kaputt... wenn man das mit dem einheitsvektormultipliziert dann bekommt man die erste spalte von A. Aber du meinst ist jetzt egal nicht auf A schauen nur auf die Abbildung schauen!

so zusammengerechnet bekomme ich hier den einheitsvektor... bitte sag uns was du mit all dem meinst ich will das verstehen!

warum möchtest du hier etwas mit einem einheitsvektor multiplizieren?!

es wird dir doch wohl möglich sein, $\begin{eqnarray*} a=-2, b=1, c=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} v_2=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} v_3=\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

in den ausdruck

$\begin{eqnarray*} \phi_A(a v_1 +b v_2 + c v_3) \end{eqnarray*}$

einzusetzen?

wenn als antwort nein kommt, dann weiß ich leider auch nicht, wie ich dir noch weiter helfen kann.

03.02.2011, 16:50

MathMonkey

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hnky

Zitat:

ja das können wir ja einsetzen problem nur da muss ja ein vector

$\begin{eqnarray*} \phi_A(-2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +1\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +1\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ und daraus kommt doch jetzt

$\begin{eqnarray*} \phi_A(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

raus aber das kann doch nicht das ergbnis sein oder?

03.02.2011, 16:50

DimaWydad

Auf diesen Beitrag antworten »

ja einsetzten ist ok

was da für Ae rauskommt versteh ich nicht so ganz. man soll ja von

$\begin{eqnarray*} \phi_A(a v_1 +b v_2 + c v_3) \end{eqnarray*}$ auf Ae1 kommen... sprich alles einsetzen wie du es sagst... wie kommt man dann von phi A auf A? Also nicht auf die matrix sonder auf den Vektor den wir wollen denn am ende soll man doch einen vektor rausfinden!

03.02.2011, 16:52

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \phi_A(-2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +1\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +1\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

das ist korrekt!

das kann man aber noch weiter umformen: wie ich bereits mehrere male geschrieben habe ist $\begin{eqnarray*} \phi_A \end{eqnarray*}$ linear.

03.02.2011, 16:56

DimaWydad

Auf diesen Beitrag antworten »

ja und wie man das genau umformt das ist mein problem... das ist ja genau das was mir fehlt^^ bitte helfen wie formt man das um?

03.02.2011, 17:00

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

allgemein gilt für $\begin{eqnarray*} u,w \in \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \phi_A(u+w)=\phi_A(u)+\phi_A(w) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \phi_A(\mu u) = \mu \phi_A(u) \end{eqnarray*}$

03.02.2011, 17:00

MathMonkey

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss auch ehrlich sagen diesen ausdruk $\begin{eqnarray*} \phi_A \end{eqnarray*}$ hab ich noch nie gesehen :S

03.02.2011, 17:01

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MathMonkey
Ich muss auch ehrlich sagen diesen ausdruk $\begin{eqnarray*} \phi_A \end{eqnarray*}$ hab ich noch nie gesehen :S

ist dir klar, was eine matrix ist?

03.02.2011, 17:01

MathMonkey

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \phi_A(-2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}) +\phi_A(-1\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}) +\phi_A(-1\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$
???

03.02.2011, 17:02

MathMonkey

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hnky

Zitat:

Original von MathMonkey
Ich muss auch ehrlich sagen diesen ausdruk $\begin{eqnarray*} \phi_A \end{eqnarray*}$ hab ich noch nie gesehen :S

ist dir klar, was eine matrix ist?

Ja ^^

03.02.2011, 17:02

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MathMonkey
$\begin{eqnarray*} \phi_A(-2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}) +\phi_A(-1\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}) +\phi_A(-1\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$
???

ja, das stimmt.

jetzt benutze die homogenität der abbildung.

kannst du mir den zusammenhang zwischen einer matrix und einer linearen abbildung erklären?

03.02.2011, 17:03

DimaWydad

Auf diesen Beitrag antworten »

das ist ja ein riesen umweg... wie kommt man bitte auf diese eigenschaften die für linearität bekannt sind alles klar das weiß jeder auf Ae??? Wie kommt man auf den vektor?? was ist denn der vektor am ende der für Ae rauskommt?
es tut mir leid das ich dich so nerve wirklich, ich versteh nich so ganz wo du hin möchtest

03.02.2011, 17:05

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DimaWydad
das ist ja ein riesen umweg... wie kommt man bitte auf diese eigenschaften die für linearität bekannt sind alles klar das weiß jeder auf Ae??? Wie kommt man auf den vektor?? was ist denn der vektor am ende der für Ae rauskommt?
es tut mir leid das ich dich so nerve wirklich, ich versteh nich so ganz wo du hin möchtest

wir sind mit $\begin{eqnarray*} \phi_A(e_1) \end{eqnarray*}$ gestartet, also die linke seite der gleichungskette.

momentan befinden wir uns schon sehr weit rechts auf der gleichungskette, aber noch lange nicht am ende.

wir haben bisher nur gleichungen benutzt, also suchen wir immer noch einen ausdruck für $\begin{eqnarray*} \phi_A(e_1) \end{eqnarray*}$ .

( $\begin{eqnarray*} \phi_A(e_1) \end{eqnarray*}$ ist nichts anderes als $\begin{eqnarray*} Ae_1 \end{eqnarray*}$ , falls man den zusammenhang zwischen matrizen und linearen abbildungen kennt, was man sollte, wenn man beim thema diagonalisierung angelangt ist.)

03.02.2011, 17:09

MathMonkey

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} -2\phi_A(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}) +1\phi_A(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}) +1\phi_A(\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$
Dann kommt sowas raus? ich glaube den ersten schritt hatte ich falsch mit -2,-1,-1 ??? meinte eigentlich -2,1,1 ^^

03.02.2011, 17:12

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MathMonkey
$\begin{eqnarray*} -2\phi_A(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}) +1\phi_A(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}) +1\phi_A(\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$
Dann kommt sowas raus? ich glaube den ersten schritt hatte ich falsch mit -2,-1,-1 ??? meinte eigentlich -2,1,1 ^^

stimmt, so ist es richtig.
du hast recht, im vorherigen beitrag von dir müsste es wirklich -2,1,1 heißen anstatt -2,-1,-1, da hab ich nicht aufgepasst, sorry!

was kommt dir denn an den vektoren bekannt vor?

03.02.2011, 17:12

DimaWydad

Auf diesen Beitrag antworten »

und nun? phi(1,0,1) ist doch das gleiche wie A(1,0,1) oder?

03.02.2011, 17:14

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DimaWydad
und nun? phi(1,0,1) ist doch das gleiche wie A(1,0,1) oder?

ja.

03.02.2011, 17:15

DimaWydad

Auf diesen Beitrag antworten »

was ist nun A(0,-2,1) kennt man doch nicht oder hat das den eigenwert -1

03.02.2011, 17:17

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

was weißt du denn über den vektor $\begin{eqnarray*} (0,-2,1)^T \end{eqnarray*}$ ?

03.02.2011, 17:19

DimaWydad

Auf diesen Beitrag antworten »

ja der Eigenraum hat den eigenwert -1 habs gefunden!

ist es dann am ende (11/8/4)??

03.02.2011, 17:20

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DimaWydad
ja der Eigenraum hat den eigenwert -1 habs gefunden!

ist es dann am ende (11/8/4)??

ja, das stimmt Freude

03.02.2011, 17:22

MathMonkey

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hnky

Zitat:

Original von DimaWydad
ja der Eigenraum hat den eigenwert -1 habs gefunden!

ist es dann am ende (11/8/4)??

ja, das stimmt Freude

Ach so weil der im span steht oder? und wie kommt man den auf den vektor?

03.02.2011, 17:25

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MathMonkey

Zitat:

Original von hnky

Zitat:

Original von DimaWydad
ja der Eigenraum hat den eigenwert -1 habs gefunden!

ist es dann am ende (11/8/4)??

ja, das stimmt Freude

Ach so weil der im span steht oder? und wie kommt man den auf den vektor?

das hat nichts mit dem span zu tun, sondern damit, dass beispielsweise $\begin{eqnarray*} (0,-2,1)^T \end{eqnarray*}$ eine eigenvektor der matrix und somit auch von der induzierten linearen abbildung ist.

er wird also auf ein vielfaches seiner selbst agebildet, und dieses vielfache ist der eigenwert, und damit lässt sich die gleichung ganz einfach berechnen.

wie siehts aus mit teilaufgabe 2 und 4?

03.02.2011, 17:37

MathMonkey

Auf diesen Beitrag antworten »

ne irgendwie ist das mir noch nicht so klar wie man von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 11 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kommt und auch den eigenwert daraus bekommt.

03.02.2011, 17:42

MathMonkey

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so der wert wurde aus 4 mal den zweiten vektor genommen oder? aber warum tut man das das kapiere ich noch nicht

03.02.2011, 17:46

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

es ist

$\begin{eqnarray*} -2\phi_A(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}) +1\phi_A(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}) +1\phi_A(\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(-2)(-1)\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +1*3\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+1*( -1)\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

weil die vektoren eigenvektoren sind, und somit durch die abbildung $\begin{eqnarray*} \phi_A \end{eqnarray*}$ auf das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ -fache von sich selber agebildet werden.

das ist ja gerade die charakterisierende eigenschaft eines eigenvektors.

03.02.2011, 17:53

MathMonkey

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hnky
es ist

$\begin{eqnarray*} -2\phi_A(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}) +1\phi_A(\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}) +1\phi_A(\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(-2)(-1)\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +1*3\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+1*( -1)\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

weil die vektoren eigenvektoren sind, und somit durch die abbildung $\begin{eqnarray*} \phi_A \end{eqnarray*}$ auf das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ -fache von sich selber agebildet werden.

das ist ja gerade die charakterisierende eigenschaft eines eigenvektors.

jetzt hab ich's verstanden. zu aufgabe 4 muss man doch jetzt das gleiche machen nur mit den Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{e_2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{e_3} \end{eqnarray*}$ und dann zu einer Matrix zusammensetzen oder?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 11 & x_2 & y_3 \\ 8 & x_2 & y_3 \\ 4 & x_2 & y_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So müsste die Matrix jetzt aussehen ohne das man die Werte ausgerechnet hat oder? für die x werte muss man jetzt nur noch das ergebnis eintippen was bei $\begin{eqnarray*} \vec{e_2} \end{eqnarray*}$ rauskommt und für die y werte das was bei $\begin{eqnarray*} \vec{e_3} \end{eqnarray*}$ rauskommt oder?

03.02.2011, 18:05

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, so kann man es machen.

03.02.2011, 18:05

MathMonkey

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann würde die Matrix A so aussehen?:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 11 & 3 & -12 \\ 8 & 1 & -8 \\ 4 & 1 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

03.02.2011, 18:08

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

ob du richtig gerechnet hast, kannst du ganz leicht selbst überprüfen.

angenommen, du hätteste die richtige matrix A berechnet.

dann bastelst du dir aus deiner eigenbasis eine matrix T.

dann gilt nämlich $\begin{eqnarray*} T^ {-1}AT=D \end{eqnarray*}$ , wobei D eine diagonalmatrix ist, die die eigenwerte von A auf der diagonalen hat.

03.02.2011, 18:24

MathMonkey

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 11 & 3 & -12 \\ 8 & 1 & -8 \\ 4 & 1 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & \frac{81}{2} & -54 \\ 0 & -9 & 10 \\ -1 & -9 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

da kommt keine diagonalmatrix raus unglücklich

das heißt das ich bei der rechnung was falsch gemacht hab unglücklich

ich rechne weiter...

03.02.2011, 18:37

MathMonkey

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 11 & -6 & -12 \\ 8 & -5 & -8 \\ 4 & -2 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
zweite Matrix heraus bekommen jedoch immernoch keine Diagonalmatrix erhalten unglücklich

03.02.2011, 19:27

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst auch ausgehend von der diagonalmatrix die matrix A berechnen.

es gilt nämlich $\begin{eqnarray*} TDT^{-1}=A \end{eqnarray*}$ .

die reihenfolge der eigenwerte auf der diagonalen der diagonalmatrix wird durch die reihenfolge der eigenvektoren in der matrix T bestimmt.

03.02.2011, 19:40

MathMonkey

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hnky
du kannst auch ausgehend von der diagonalmatrix die matrix A berechnen.

es gilt nämlich $\begin{eqnarray*} TDT^{-1}=A \end{eqnarray*}$ .

die reihenfolge der eigenwerte auf der diagonalen der diagonalmatrix wird durch die reihenfolge der eigenvektoren in der matrix T bestimmt.

okay aber ich finde eine sache seltsam

Ich hab nach deiner definition eine irgend eine Matrix D genommen die in der diagonalen -1,3 und -1 besitzt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} ^{-1}= \begin{pmatrix} 11 &-6 & -12 \\ 8 & -5 & -8 \\ 4 & -2 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann kam meine matrix raus jedoch geht das irgendwie nicht andersrum?

da bekomme ich bei $\begin{eqnarray*} T^{-1}AT=D \end{eqnarray*}$ . als ergebnis

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 &\frac{27}{2} & 0 \\ 0 & -3 & -2 \\ -1 & -3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

« vorherige Seite 123 nächste Seite »

Neue Frage »

Antworten »

Eigenvektor, Eigenwerte und Eigenraum ohne gegebene Matrix - Seite 2

Verwandte Themen