Eigenvektor, Eigenwerte und Eigenraum ohne gegebene Matrix

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MathMonkey Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektor, Eigenwerte und Eigenraum ohne gegebene Matrix
Meine Frage:
Ich sitz schon seit Dienstag an allen Aufgaben (siehe Anhang) und verstehe sie einfach nicht. Ich kann zwar durch die gegebenen Formeln im Skript alles ausrechnen, nur setzen alle gegebenen Formeln eine Matrix vorraus die ist jedoch nicht gegeben. Ausrechnen kann ich sie auch nicht da ich nicht weiß wie das geht. Kann mir jemand Helfen? Ansätze habe ich auch nicht wirklich(vermute ich).

Meine Ideen:
Meine einzigen Ansätze:

Zu 1. :


und


wobei ich nicht weiß warum ich nehmen muss. Hat mir ein Tutor heute gesagt.

zu (iii)

hnky Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,

fangen wir mal mit teil i) an:

per definition von eigenvektoren gilt:

, wobei v ein eigenvektor und a der zugehörige eigenwert ist.

es ist aus der aufgabenstellung bekannt, dass (<,> bezeichnet hier den span), also ein Eigenraum von A zum Eigenwert -1, der von zwei eigenvektoren aufgespannt wird.

die berechnung von stellt also kein problem mehr dar.(warum?)

weiterhin ist eine basis des bekannt, und eine basis hat eine tolle eigenschaft, mit der du einen vektor deines raumes darstellen kannst.

gruß,hnky
 
 
DimaWydad Auf diesen Beitrag antworten »

also ich sitze auch an der gleichen Aufgabe...seit npaar tagen schon

ich hab jetzt ein problem mit A. Wie kann ich Av berechnen ohne A? also ich verstehe nicht so ganz was gemeint ist. Und für ii) die darstellende matrix bestimme ich dann ganz normal in dem ich Kb und die inverse von Kb berechne und was ist dann L?
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

anstatt die matrix zu betrachten, könntest du auch die von A induzierte lineare abbildung betrachten.

und dann guck dir nochmal den letzten satz meines vorherigen posts an smile
DimaWydad Auf diesen Beitrag antworten »

Also, für den ersten Eigenvektor hab ich es verstanden! Die Definition sagt ein Eigenraum einer Abbildung ist von eigenvektoren aufgespannt und da der eigenwert des Eigenraums -1 ist also ist das erste schonmal geklärt.

was ist jetzt mit A [ -6/-4/-2]?? sorry ich kann noch kein latex ich werde es mir während der semesterferien beibringen.
und ich verstehe nicht so recht was du mit dem letzten satz meinst... naja aber vielen dank das ihr bedürftigen helft Big Laugh
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

du könntest den vektor als linearkombination der basis B darstellen, und damit hast du, wenn du die eigenschaften einer linearen abbildung benutzt, schon die lösung.
DimaWydad Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt nicht was das mit Eigenvektoren und eigenwerten zu tun hat. Wie kann ich aus einer linearkombination einen Eigenwert ablesen? wenn ich für der vektor (3,2,1) der basis als skalar -2 einsetze und für die anderen skalare 0 dann bekomme ich (-6,-4,-2) kann ich etwas damit anfangen?
MathMonkey Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hnky
du könntest den vektor als linearkombination der basis B darstellen, und damit hast du, wenn du die eigenschaften einer linearen abbildung benutzt, schon die lösung.

Also ich verstehe das auch nicht so ganz also.
Muss ich jetzt das hier manchen?:



Und wenn das stimmt wie muss man dann weiter machen? mit Gaußalgorithmus. Und was ist eine induzierte Menge?

Ich weiß ich hab noch ein paar verständnislücken unglücklich
DimaWydad Auf diesen Beitrag antworten »

Doch ich habs!

Wenn du mit gaußalgorithmus diese Linearkombination ausrechnest, bekommst du für den vektor (-6,-4,-2) ein vielfaches vom vektor (3,2,1) genauer gesagt da du deinen Eigenvektoren (3,2,1) hast und sein Eigenwert dazu lambda1=3 hast du ja für den vektor (-6,-4,-2) den gleichen eigenwert.

so denke ich würde es gehen
MathMonkey Auf diesen Beitrag antworten »

Okay hmmm, dann hab ich noch eine frage zu hnky zu :


Zitat:
Original von hnky
hallo,

fangen wir mal mit teil i) an:

per definition von eigenvektoren gilt:

, wobei v ein eigenvektor und a der zugehörige eigenwert ist.

es ist aus der aufgabenstellung bekannt, dass (<,> bezeichnet hier den span), also ein Eigenraum von A zum Eigenwert -1, der von zwei eigenvektoren aufgespannt wird.

die berechnung von stellt also kein problem mehr dar.(warum?)

weiterhin ist eine basis des bekannt, und eine basis hat eine tolle eigenschaft, mit der du einen vektor deines raumes darstellen kannst.



gruß,hnky


Also ich hab jetzt das Hier gemacht:







Aber da stöhrt ja noch auf der linken seite? oder ist somit schon aufgabe 1 gelöst bzgl. ??? und man bekommt den Vector als ergebnis?
DimaWydad Auf diesen Beitrag antworten »

ja bezüglich A(1,0,1) ist die erste teilaufgabe gelöst. jetzt noch A(-6,-4,-2)... und teilaufgabe drei ist das gleiche.
MathMonkey Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DimaWydad
ja bezüglich A(1,0,1) ist die erste teilaufgabe gelöst. jetzt noch A(-6,-4,-2)... und teilaufgabe drei ist das gleiche.




Zu erhalte ich mit Gauß oder auch wenn ich nach der ersten definition gehe,also a müsste glaube ich sein. glaub ich. bin also ziemlich verwirrt, da zwei ergebnisse rauskommen unglücklich
DimaWydad Auf diesen Beitrag antworten »

du hast den vektor falsch abgeschrieben

A(-6,-4,-2) und nicht A(-6,-4,1)
MathMonkey Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DimaWydad
du hast den vektor falsch abgeschrieben

A(-6,-4,-2) und nicht A(-6,-4,1)


schon geändert smile
DimaWydad Auf diesen Beitrag antworten »

na der vektor (-6,-4,-2) ist ein vielfaches von (3,2,1):

(-2)*(3,2,1)=(-6,-4,-2) und du hast ja den eigenwert von (3,2,1) ja schon gegeben!
MathMonkey Auf diesen Beitrag antworten »

okay da bleibt aber noch ein problem. Währe dann nicht (-2) ein weiterer eingenwert oder verstehe ich da etwas falsch?

Zu hab ich dann das hier aufgeschrieben??? es muss ja irgendwie so ähnlich sein wie mit also das da noch ein A in der formel steht oder?
DimaWydad Auf diesen Beitrag antworten »

Nein! A hat nur 2 eigenwerte -1 und 3 in diesem fall hast du einfach nur ein vielfaches von vom vektor (3,2,1) und der eigenwert vom vektor (3,2,1) ist 3, demnach...
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

ihr habt durchaus schon die richtigen ideen, ansätze und lösungen, allerdings ist das ganze noch sehr chaotisch, deshalb versuche ich mal ein wenig ordnung in das chaos zu bringen:

Es ist und eine Basis B (aus eigenvektoren war bereits angegeben).

man kann aus der basis B direkt sehen, dass ein eigenvektor ist, der per definition auf das fache von sich selber abgebildet wird, also ist .

das bild des zweiten vektors kann man entweder direkt durch hingucken, oder durch die (mir sinnvoller erscheinende) linearkombinations methode lösen, beide führen zum selben ziel, und sind in gewisser weise identisch.

1. methode: hingucken

wie ihr bereits gesehen habt, ist

es ist also


2. methode: linearkombination

ihr habt die Basis B gegeben, und eine basis hat die tolle eigenschaft, dass sich jeder vektor des raumes als linearkombination der basis schreiben lässt, also , wobei die angegebenen basisvektoren und
in diesem fall ist logischerweise , wie ihr auch schon rausgefunden habt.

weiterhin könnt ihr anstatt der matrix A auch die von A induzierte lineare abbildung betrachten.

es ist also

nun müssen nur noch die entsprechenden werte eingesetzt werden und die linearität der abbildung ausgenutzt werden, und man erhält, wer hätte es gedacht, das selbe ergebnis wie bei der 1. methode.
DimaWydad Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genauso hab ich es auch...

für teilaufgabe 3 sollte es das gleiche sein... aber i.wie blicke ich bei der auch nich so durch
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

ja, teilaufgabe 3 ist im prinzip das selbe.

ihr müsst bloß berechnen, wobei wieder die 3 basisvektoren sind und .

das führt auf das lösen eines gleichungssystem, was eigentlich kein problem darstellen sollte.

um zu berechnen, betrachtet, wie in meiner 2. methode beschrieben, die von A induzierte lineare abbildung und nutzt die linearität der abbildung aus.

wie sieht es aus mit teilaufgabe 2 und 4?
MathMonkey Auf diesen Beitrag antworten »

zu hnky: meintest du


und nicht

als Ergebnis?
DimaWydad Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du eigentlich mit "Es muss die linearität ausgenutzt werden" wenn ich mit methode 2 arbeite bekomme ich für alle skalae werte raus da weiß ich nicht so recht wie man da auf Ax=lambda x kommen soll

und 2 und 4 hab ich auch nich wirklich eine ahnung. Bei 2 sollte man halt klassisch ne darstellende matrix ausrechnen mit Kb und L(in dem fall A) aber wie man das so richtig macht weiß ich nich
MathMonkey Auf diesen Beitrag antworten »

da fällt mir gerade ein, Was ist den überhaupt ????
DimaWydad Auf diesen Beitrag antworten »

einheitsvektor (1,0,0)
MathMonkey Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DimaWydad
einheitsvektor (1,0,0)

ach so dehalb dann auch
als ergebnis für die linearkombination
DimaWydad Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau... hat jemand eine idee für 2 und 4 Big Laugh ??
MathMonkey Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bekomme mit gauß nur

hnky Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DimaWydad
Was meinst du eigentlich mit "Es muss die linearität ausgenutzt werden" wenn ich mit methode 2 arbeite bekomme ich für alle skalae werte raus da weiß ich nicht so recht wie man da auf Ax=lambda x kommen soll

und 2 und 4 hab ich auch nich wirklich eine ahnung. Bei 2 sollte man halt klassisch ne darstellende matrix ausrechnen mit Kb und L(in dem fall A) aber wie man das so richtig macht weiß ich nich


dann lasst uns erstmal aufgabe 1 und 3 vernünftig hinbekommen, bevor wir an den anderen beiden arbeiten smile

mit linearität bezeichnet man in diesem zusammenhang die additive und homogenen eigenschaften einer linearen abbildung(hier zu finden).

die skalare sind doch bereits durch die berechnung der linearkombination bekannt:
.

edit: (ich beziehe mich hier natürlich auf teilaufgabe 1 !, die haben hier natürlich nichts mehr mit denen aus aufgabenteil 3 zu tun, da sollte man vielleicht andere bezeichnungen verwenden, bevor wir hier ganz durcheinander kommen)

wenn ihr das nun zusammen mit den 3 basisvektoren in die abbildung "steckt", und dann zunächst die additiv ausnutzt, und daraufhin die homogenität, erhaltet ihr die richtige lösung.
MathMonkey Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DimaWydad
Ja genau... hat jemand eine idee für 2 und 4 Big Laugh ??


für 4 meinte mein tutor das gleiche wie bei 3 muss man nur noch für und machen
DimaWydad Auf diesen Beitrag antworten »

bei aufgabe 1 ist alles schon geklärt... es geht mir eher um aufgabe 3, ich hab jetzt bei gauß .

wie finde ich nun heraus welches lambda ich nehme für Ae=lambda e
sorry blick da nich durch
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DimaWydad
bei aufgabe 1 ist alles schon geklärt... es geht mir eher um aufgabe 3, ich hab jetzt bei gauß .



das stimmt Freude

Zitat:
Original von DimaWydad
wie finde ich nun heraus welches lambda ich nehme für Ae=lambda e
sorry blick da nich durch


jetzt verwechselst du etwas: ist kein eigenvektor, deshalb wird er auch nicht auf ein vielfaches seiner selbst abgebildet.

betrachte stattdessen nun
MathMonkey Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DimaWydad
bei aufgabe 1 ist alles schon geklärt... es geht mir eher um aufgabe 3, ich hab jetzt bei gauß .

wie finde ich nun heraus welches lambda ich nehme für Ae=lambda e
sorry blick da nich durch


ah genau stimmt hab einen fehler gemacht hab ausversehen den nullvektor genommen -.-*
DimaWydad Auf diesen Beitrag antworten »

Die skalare die ich bei der Linearkombination weiß ich nich anzuwenden, ich würde jetzt sagen (-2,1,1) ist die erste spalte meiner gesuchten matrix und demnach

Ae1= (-2,1,1) richtig?
MathMonkey Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DimaWydad
Die skalare die ich bei der Linearkombination weiß ich nich anzuwenden, ich würde jetzt sagen (-2,1,1) ist die erste spalte meiner gesuchten matrix und demnach

Ae1= (-2,1,1) richtig?


würde ich auch sagen aber ob das so richtig ist keine Ahnung unglücklich
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

nein, so stimmt das leider nicht.

da wir jetzt ziemlich durcheinander gekommen sind, nehme ich mal neue bezeichnungen, sonst verwirrt das alles zu sehr.



die skalare, ich nenne sie jetzt mal , habt ihr bereits herausgefunden: , sodass gilt:



was erhaltet ihr nun, wenn ihr betrachtet?

ist die von A induzierte lineare abbildung)
DimaWydad Auf diesen Beitrag antworten »

eine matrix???
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

vergesst die matrix A doch mal für einen moment, und betrachtet stattdessen die lineare abbildung.

es ist doch bloß simples einsetzen und ausrechnen.

ich bezweifel, dass ihr das thema eigenwerte & diagonalisierung behandelt habt, bevor ihr euch mit linearen abbildungen beschäftigt habt.
DimaWydad Auf diesen Beitrag antworten »

die lösung wird total blöd sein aber anderswie kapier ich das nicht... wen ich einsetzte und ausrechne dann komm ich auf den einheitsvektor. Was muss man wo einsetzten und was ausrechnen? ich hab mich damit schon befasst nur ist es mir nicht bewusst wie ich einen eigenwert ausrechnen soll ohne matrix.. ist aber jetzt egal!
MathMonkey Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hnky
vergesst die matrix A doch mal für einen moment, und betrachtet stattdessen die lineare abbildung.

es ist doch bloß simples einsetzen und ausrechnen.

ich bezweifel, dass ihr das thema eigenwerte & diagonalisierung behandelt habt, bevor ihr euch mit linearen abbildungen beschäftigt habt.


kommt da raus wenn man das mit dem eigenwert -1 mal nimmt wie bei aufgabe 1?
DimaWydad Auf diesen Beitrag antworten »

die abbildung sagt von C^3 nach C^3, v nach Av

so Av ist Ae1. Was rauskommen musst ist quasi das urbild? richtig?
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