Beweis, dass det(A)=det(A^t) mit Determinantenfunktion

03.02.2011, 10:54	KSK	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis, dass det(A)=det(A^t) mit Determinantenfunktion Meine Frage: Hallo, ich hätte da noch mal eine Frage zu einem Determinantenbeweis: In Worten kann ich durchaus beschreiben, dass, da bei A^t die Spalten gleich den Reihen von A und die Reihen von A^t gleich den Spalten von A sind, die Determinanten gleich sein müssen. Nun hat mein Prof allerdings einen Beweis geführt, der mir unverständlich ist. Wir wissen, dass $\begin{eqnarray} det(A)=\sum\limits_{p} (-1)^{t(p)} a_{1j_{1}} a_{2j_{2}}... a_{nj_{n}} \end{eqnarray}$ , wobei p die Permutationen sind und t(p) die Anzahl der Vertauschungen, die notwendig sind, um zur Ausgangsform zurückzukommen; das j bezeichnet jeweils die Indexzuordnung durch die permutation. Sei $\begin{eqnarray} B=A^{t}=\left(b_{ij}\right) \end{eqnarray}$ . (1) Wir wissen weiterhin, dass dann $\begin{eqnarray} \left(b_{ij}\right) =\left(a_{ji}\right) \end{eqnarray}$ . (2) $\begin{eqnarray} det(B)=\sum\limits_{p} (-1)^{t(p)} b_{1j_{1}} b_{2j_{2}}...* b_{nj_{n}} \end{eqnarray}$ (3) Wegen (2): $\begin{eqnarray} = det(B)=\sum\limits_{p} (-1)^{t(p)} a_{j_{1}1} a_{j_{2}2}...* a_{j_{n}n} \end{eqnarray}$ (4) "Wegen Kommutativität des unterliegenden Feldes": $\begin{eqnarray} \forall p \in S_{n} \exists q=\left(k_{1} ...k_{n}\right)\in S_{n} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} a_{j_{1}1} a_{j_{2}2}...* a_{j_{n}n} = a_{1k_{1}} a_{2k_{2}}...* a_{nk_{n}} \end{eqnarray}$ (5). t(p)=t(q) (6) $\begin{eqnarray} => det(B)=\sum\limits_{p} (-1)^{t(p)} a_{1k_{1}} a_{2k_{2}}...* a_{nk_{n}} \end{eqnarray}$ (7). ENDE Meine Ideen:* Was ich nun nicht verstehe, ist zunächst die Begründung mit der Kommutativität. Was hat die denn damit zu tun? Die dann folgende Aussage sagt mir doch "dann gibt es für jede Permutation p eine Permutation q, sodass" - ja, sodass was? Meine Interpretation: sodass man die aji wieder in ihre ursprü+ngliche Reihenfolge zurückführen kann, dann hätten wir ja die Ausgangsmatrix. Stimmt das? Und schließlich Gleichung (6). Warum stimmt das? Vielen Dank für eure Hilfe!
03.02.2011, 11:57	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
In einem Körper [=Feld] muss immer $\begin{eqnarray} ab=ba \end{eqnarray}$ gelten. Aber eine Determinantenfunktion [sprich die Summendefinition] ist auch über einem Ring sinnvoll - und dieser muss überhaupt nicht kommutativ sein.
03.02.2011, 12:10	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Formulierung "Wegen der Kommutativität des unterliegenden Feldes" ist vielleicht schwer verdaulich für jemanden, der seine 1.Algebravorlesung hört. Damit soll ausgedrückt werden, dass man bei Vertauschen der Indizes in jedem Summanden $\begin{eqnarray} a_{1i_1}a_{2i_2}a_{3i_3}... \end{eqnarray}$ wieder die gleiche Summe erhält wie vorher - nur in anderer Reihenfolge. Das kann man sich leicht klarmachen, wenn man bedenkt, dass die Summe n! Summanden hat, wobei alle Permutationen durchlaufen werden. Schreib' dir das mal für eine 3x3-Determinante explizit auf, dann wird die Sache klar.
03.02.2011, 18:20	KSK	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für eure Antworten! Also, das mit der Kommutativität hab ich verstanden -zumindest, dass sich daran nix ändert, das ist ja klar. Aber wie ist das mit dem t(p)=t(q)? Warum ist das so eindeutig, dass das gleich ist? Das ist die Stelle, an der ich hake...
03.02.2011, 18:48	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier ist $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ die zur $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ inverse Permutation. Ausserdem habt ihr sicher bewiesen, dass $\begin{eqnarray} t(p\circ q)=t(p)\cdot t(q) \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} p\circ q=Id \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t(Id)=1 \end{eqnarray}$ folgt die Gleichung (6).
03.02.2011, 21:11	KSK	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha! Das haben wir nämlich nicht bewiesen - vielen Dank!!
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