Unbestimmten Integrale bestimmen

03.02.2011, 12:47

chillerStudent

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Unbestimmten Integrale bestimmen

Meine Frage:
Hallo,
folgende Hausaufgabe:

Bestimmen Sie jeweils die unbestimmten Integrale. Die Rechenwege müussen vollständig sein und die verwendeten. Rechenregeln sind mit anzugeben.

(a) $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{\sqrt{x³} }+\frac{2}{x} \, dx \end{eqnarray*}$
(b) $\begin{eqnarray*} \int \! 4x+3+\frac{5}{x}+\sqrt[4]{x} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Erstmal zu (a): Ich weiß das die Stammfuntion 2log(x) - (2/sqrt(x)) ist
aber wie komme ich drauf? Ich weiß, wie man integriert, aber mein Problem ist das integrieren von Brüchen

03.02.2011, 12:53

Mulder

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RE: Unbestimmten Integrale bestimmen
Für die Wurzeln arbeite erst mal ein wenig mit den Potenzgesetze. Danach kannst du ganz normal mit der Potenzregel integrieren. Was die Brüche betrifft: Eine Stammfunktion von 1/x ist einfach ln(x), das musst du hier nicht beweisen oder darauf kommen, das musst du einfach wissen und anwenden. Wenn da beispielsweise noch eine 2 im Zähler steht, will dein Lehrer als zusätzliches Argument sicher das Stichwort "Faktorregel" hören.

Um die Integranden solltest du allerdings Klammern setzen, wenn sie aus Summen bestehen.

03.02.2011, 15:05

chillerStudent

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Wie kann man denn diesen Ausdruck anders schreiben:
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{5}x^\frac{5}{2} \end{eqnarray*}$
oder kürzen?

und ist das die Hochleitung von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x^3} } \end{eqnarray*}$ ??

03.02.2011, 15:25

Mulder

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RE: Unbestimmten Integrale bestimmen
Von diesen irrwitzigen Wortkonstruktionen wie "Hochleitung" sehen wir mal lieber ab und bleiben bei dem Begriff "Stammfunktion".

Und wenn du eine solche auf ihre Richtigkeit überprüfen möchtest, kannst du sie ja einfach wieder ableiten. Dann siehst du, dass dein Resultat falsch ist.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x^3}} = \frac{1}{x^{ \frac 3 2}} = x^{- \frac 3 2} \end{eqnarray*}$

Das sollte doch nun leicht zu integrieren sein. Wie gesagt, Potenzgesetze müssen sitzen.

03.02.2011, 15:57

chillerStudent

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Danke.
Was heißt denn unbestimmtes Integral bestimmen? Nur ein Stammfunktion bestimmen oder die Fläche auch?

03.02.2011, 15:59

Mulder

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Zitat:

Original von chillerStudent
Was heißt denn unbestimmtes Integral bestimmen? Nur ein Stammfunktion bestimmen oder die Fläche auch?

Welche Fläche soll man denn da bestimmen? Bei einem unbestimmten Integral hast doch doch gar keine Grenzen gegeben (das bedeutet doch "unbestimmt"). Hier ist nach einer Stammfunktion gefragt.

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03.02.2011, 19:29

chillerStudent

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Nun hab ich diese Stammfunktion raus:
$\begin{eqnarray*} -2x^{-\frac{1}{2} } + 2log(x) \end{eqnarray*}$

Welche Regeln habe ich jetzt da verwendet? Einmal die Potenzregel, wie mulder schon sagte, und gibts da noch eine?

Wie bilde ich die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{x} \end{eqnarray*}$ in dieser Funktion?
$\begin{eqnarray*} 4x+3+\frac{5}{x} +\sqrt[4]{x} \end{eqnarray*}$

Hat jemand vielleicht einen Link für mich wie man aus Wurzeln Stammfunktion bildet?

03.02.2011, 19:32

chillerStudent

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Hat sich erledigt mit der zweiten Frage! Thx

03.02.2011, 22:12

chillerStudent

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Wie rechne ich dieses Integral mit substitution?
$\begin{eqnarray*} \int \! e^{\frac{x}{2} } \, dx \end{eqnarray*}$
was soll ich hier substituieren?

03.02.2011, 22:14

Mulder

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Mit der Substitution

$\begin{eqnarray*} \frac x 2 = z \end{eqnarray*}$

Was anderes bleibt ja gar nicht übrig, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.02.2011, 22:18

chillerStudent

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Das stimmt, aber aber ich weiß nicht wie ich weiter rechnen soll. Ich brauche ja dann die ableitung von x/2, und die ist 0
oder verstehe ich grad substitution nicht?!

03.02.2011, 22:21

Mulder

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RE: Unbestimmten Integrale bestimmen

Zitat:

Original von chillerStudent
Ich brauche ja dann die ableitung von x/2, und die ist 0

Huh? Nein, die Ableitung ist nicht null, wie kommst du darauf?

03.02.2011, 22:32

chillerStudent

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ups sry, habe das x/2 als ein ganzes betrachtet... nicht weiter gedacht

nun habe ich das hier raus bekommen:
$\begin{eqnarray*} \frac{2e^{x} }{x} \end{eqnarray*}$

03.02.2011, 22:35

chillerStudent

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oh man ich seh grad, dass das wieder falsch ist:
nun das:
$\begin{eqnarray*} \frac{4e^{\frac{2+x}{2} } }{2+x} \end{eqnarray*}$

03.02.2011, 22:45

Mulder

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Zitat:

Original von chillerStudent
$\begin{eqnarray*} \frac{4e^{\frac{2+x}{2} } }{2+x} \end{eqnarray*}$

Das ist auch wirklich ganz schrecklich falsch. Leider weiß ich nicht, wie du dazu kommst, denn du hast keine Zwischenschritte angegeben. Sieh mal... wir substituieren doch wie oben angegeben x/2=z. Das liefert als ersten Schritt doch schon mal:

$\begin{eqnarray*} \int e^z \, \dx \end{eqnarray*}$

Das x/2 im Exponenten ist etzt einfach durch z ersetzt. So, jetzt müssen wir noch das dx ersetzen (das ist wohl auch das, was den meisten Schülern Schwierigkeiten bereitet), denn das gehörte noch zu alten Variablen x.

Wir betrachten dazu nochmal unsere Substitution:

$\begin{eqnarray*} z = \frac x 2 \end{eqnarray*}$

Nun bilden wir auf beiden Seiten die Ableitung nach x. Auf der linken Seite steht z, die Ableitung davon ist einfach z', was wir auch schreiben können als

$\begin{eqnarray*} z' = \frac{\dd z}{\dx} \end{eqnarray*}$

Jetzt brauchen wir noch auf der rechten Seite die Ableitung. Was ist die Ableitung von x/2 nach x?

03.02.2011, 22:49

chillerStudent

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z' = 1/2

03.02.2011, 22:50

Mulder

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Ja. Und damit insgesamt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd z}{\dx} = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Stell das nach $\begin{eqnarray*} \dx \end{eqnarray*}$ um und ersetze das dann in dem Integral.

03.02.2011, 22:59

chillerStudent

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Hää genau so hab ich das doch gemacht:

wenn ich dx einzetze, dann erhalte ich doch
$\begin{eqnarray*} 2\int \! e^{z} \, dx \end{eqnarray*}$

jetzt für z (x/2) einsetzen ergibt:
$\begin{eqnarray*} 2\int \! e^{\frac{x}{2} } \, dx \end{eqnarray*}$

Wenn ich integrieren will, dann muss ich doch z + 1 rechnen oder? dann habe ich (x/2) + (2/2) = (x+2) / 2 ??

bitte korregiere smile

smile

03.02.2011, 23:03

Mulder

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Ich weiß nicht, was du da machst. Wir waren bei

$\begin{eqnarray*} \int e^z \, \dd x \end{eqnarray*}$

Und jetzt ersetzen wir gemäß $\begin{eqnarray*} \dx = 2 \dd z \end{eqnarray*}$

und erhalten

$\begin{eqnarray*} 2 \int e^z \, \dd z \end{eqnarray*}$

Das kann man nun lösen und DANACH kannst du rücksubstituieren. Es macht doch keinen Sinn, irgendwas zu substituieren und dann vor dem Integrieren wieder rückzusubstiuieren. Der Sinn hinter der Substitution ist doch, ein Integral zu erhalten, das sich einfacher lösen lässt.

Und wir brauchen hier nicht diese Potenzregel. Wir integriert man e-Funktionen? Was ist eine Stammfunktion von e^z? Bedenke, wir integrieren nicht mehr nach x, sondern nach z!

03.02.2011, 23:08

chillerStudent

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OHH unser gott, sry sry
integral von e^z ist natürlich e^z
das heißt: 2e^(x/2)

Danke danke!! Freude

Freude

Was kann ich am besten hier substituieren? ich würde sagen das e^x oder? weil integral von e^x n NATÜRLICH e^x ist Hammer

Hammer

03.02.2011, 23:11

Mulder

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Zitat:

Original von chillerStudent
OHH unser gott, sry sry
integral von e^z ist natürlich e^z
das heißt: 2e^(x/2)

Das ist richtig, hoffentlich ist der Groschen nun gefallen. Man muss es nur einmal verstehen, dann sitzt es auch. Hinter dieser Substitutionsregel versteckt sich übrigens nichts anderes als die Umkehrung der Kettenregel, die du vom Ableiten bestimmt kennst.

Aber: Vergiss die Integrationskonstante nicht!

Zitat:

Original von chillerStudent
Was kann ich am besten hier substituieren? ich würde sagen das e^x oder? weil integral von e^x n NATÜRLICH e^x ist

?

03.02.2011, 23:15

chillerStudent

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hahahha, hab vergessen einzufügen:
$\begin{eqnarray*} \int \! e^{x} * \cos(e^{x} +1) \, dx \end{eqnarray*}$

03.02.2011, 23:18

Mulder

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Aha. Ich würde in dem Fall die Substitution

$\begin{eqnarray*} e^x+1=z \end{eqnarray*}$

vorschlagen.

03.02.2011, 23:26

chillerStudent

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$\begin{eqnarray*} \sin(e^{x} +1)+C \end{eqnarray*}$
richtig?

03.02.2011, 23:28

Mulder

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Genau.

Freude

03.02.2011, 23:55

chillerStudent

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nun muss ich drei aufgaben mit partieller integration erledigen:

folgende aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \int \! x*\sin(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Nach der formel bin ich darauf gekommen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^{2} * \sin(x) - \int \! \frac{1}{2}x^{2} * cos(x) \, dx \end{eqnarray*}$

ich weiß leider nicht wie ich weiter rechnen soll. Muss ich das integral nach dem Minus bestimmen und dann subtrahieren?

03.02.2011, 23:56

Mulder

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Du musst f' und g genau andersrum wählen.

04.02.2011, 00:01

chillerStudent

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D.h. mein f' = sin(x) und g= x ?
wenn ja, woher weiß ich das ?

04.02.2011, 00:07

Mulder

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RE: Unbestimmten Integrale bestimmen

Zitat:

Original von chillerStudent
wenn ja, woher weiß ich das ?

Rechne es durch, dann siehst du, warum.

Ganz allgemein: Integrieren, bzw. ein Auge dafür zu entwickeln, lernt man nicht von heute auf morgen. Ableiten ist banales Anwenden von zur Verfügung stehenden Regeln. Das ist keine Kunst. Integrieren hingegen ist im Allgemeinen etwas "tricky", da braucht man ein Auge für und man braucht Ideen. Das kann und muss man üben.

04.02.2011, 00:18

chillerStudent

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ich habe da sowas raus:

-cos(x) * x + sin(x)
richtig?

04.02.2011, 00:30

Mulder

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RE: Unbestimmten Integrale bestimmen
Ja, das stimmt. Außer, dass wieder die Integrationskonstante fehlt.

04.02.2011, 00:38

chillerStudent

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wie kann ich diese aufgabe per partielle integration lösen:
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{\ln(x) }{x^{2} } \, dx \end{eqnarray*}$

ich habe da f' = ln(x) und g(x) = 1/x²

oder habe ich das wieder verkehrt herum gemacht?

04.02.2011, 00:42

Mulder

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RE: Unbestimmten Integrale bestimmen

Zitat:

Original von chillerStudent
oder habe ich das wieder verkehrt herum gemacht?

Ja, hast du.

04.02.2011, 00:55

chillerStudent

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ich habe jetzt:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{x} * \ln(x) \int \! -\frac{1}{x}*\frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{\ln(x) }{x}- (- \ln(x) *\ln(x)) \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig?

04.02.2011, 00:58

Mulder

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Nö, das stimmt nicht.

04.02.2011, 01:04

chillerStudent

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f'= 1/x² g=lnx
f = -(1/x) g'= 1/x
F = -lnx G= lnx

richtig?

04.02.2011, 01:10

Mulder

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Was soll das denn jetzt werden? verwirrt

verwirrt

Vergessen wir das jetzt mal wieder.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\ln(x)}{x^2} \dx = -\frac{1}{x} \cdot \ln(x) - \int \! -\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

So, das war noch in Ordnung. Das war der erste Schritt aus deinem vorherigen Post. Jetzt lenken wir unser Augenmerk nochmal auf das Integral rechts. Das hast du einfach falsch gelöst. Bei einem Produkt kannst du nicht einfach jeden Faktor einzeln integrieren. Das geht nicht. Hier ist doch

$\begin{eqnarray*} - \int -\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \int \frac {1}{x^2} \, \dx \end{eqnarray*}$

Löse dieses Integral wieder ganz stumpf in der Potenzregel.

04.02.2011, 01:12

chillerStudent

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-(1/x) ?

04.02.2011, 01:13

Mulder

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Du darfst auch ruhig einen Schritt weiter gehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gesamtlösung samt Integrationskonstante?

04.02.2011, 01:19

chillerStudent

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hahah, war absicht, trau mich nicht mehr irgendwas hinzuschreiben

lnx+1 / (x) ??
Ich denk schon, dass das jetzt richtig ist...

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