LR-Zerlegung/ Cholesky

03.02.2011, 13:53

Gast11022013

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LR-Zerlegung/ Cholesky

Meine Frage:
Hallo!

Ich habe mal eine Frage:

Angenommen, ich habe eine Matrix A (3x3-Matrix) zerlegt in

1. $\begin{eqnarray*} A=LR \end{eqnarray*}$ - nach der LR-Zerlegung
2. $\begin{eqnarray*} A=LL^T \end{eqnarray*}$ gemäß Cholesky-Zerlegung

Besteht ein Zusammenhang zwischen diesen Zerlegungen?

Meine Ideen:
`...habe noch keine Idee.

03.02.2011, 13:55

tigerbine

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RE: LR-Zerlegung/ Cholesky
Hallo Dennis, Wink

Wink

wie meinst du das nun mit Zusammenhang? Ist das genau so in der Aufgabe gefragt? Grob gesagt zerlegen beide A ja in ein Produkt aus einer unteren und einer oberen Dreiecksmatrix.

Nun gibt es je Zerlegung aber spezielle Anforderungen, wie diese Dreiecksmatrizen aussehen sollen. Bei LR denke ich zum Beispiel and ie Foderungen, dass die Diagonale von L nur 1er haben darf.

03.02.2011, 13:57

Math1986

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RE: LR-Zerlegung/ Cholesky

Zitat:

Original von Dennis2010
Meine Frage:

Angenommen, ich habe eine Matrix A (3x3-Matrix) zerlegt in

1. $\begin{eqnarray*} A=LR \end{eqnarray*}$ - nach der LR-Zerlegung
2. $\begin{eqnarray*} A=LL^T \end{eqnarray*}$ gemäß Cholesky-Zerlegung

Besteht ein Zusammenhang zwischen diesen Zerlegungen?

Ja, es ist $\begin{eqnarray*} R=L^T \end{eqnarray*}$

03.02.2011, 14:00

tigerbine

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RE: LR-Zerlegung/ Cholesky
@Math1986

Das ist im Allgemeinen nicht der Fall.

03.02.2011, 14:03

Gast11022013

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RE: LR-Zerlegung/ Cholesky
Hallo! Wink

Wink

Also, die Aufgabe lautete:

Bestimmen Sie die LR-Zerlegung (ohne Pivoting) und die Choleksy-Zerlegung der Matrix

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & 3 \\ 3 & 3 & 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das habe ich dann auch gemacht und habe heraus (was als richtig bestätigt wurde):

1. LR-Zerlegung:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2. Cholesky-Zerlegung:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dann wurde gefragt:

Besteht ein Zusammenhang zwischen diesen Zerlegungen?

03.02.2011, 14:13

tigerbine

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RE: LR-Zerlegung/ Cholesky
Die Frage ist ihmo sehr gefährlich. Der Zusammenhang im konkreten Fall hier ist klar. Choleksy bekommst du aus LR, wenn du in die Diagonale von L die pos. "Wurzel aus der Diagonalen" von R reinschreibst. Du kennst die $\begin{eqnarray*} LDL^T \end{eqnarray*}$ Zerlegung?

Mal ein anderes Beispiel, wo es mit dem Diagonalenaustausch nicht getan ist.

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:

L=[1,0,0;-4,1,0;10/3,-5/4,1]
L =
    1.0000         0         0
   -4.0000    1.0000         0
    3.3333   -1.2500    1.0000
>> R=[9,-36,30;0,48,-60;0,0,5]
R =
     9   -36    30
     0    48   -60
     0     0     5
>> A=L*R
A =
     9   -36    30
   -36   192  -180
    30  -180   180
>> chol(A)
ans =
    3.0000  -12.0000   10.0000
         0    6.9282   -8.6603
         0         0    2.2361

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03.02.2011, 14:25

Gast11022013

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RE: LR-Zerlegung/ Cholesky
Die $\begin{eqnarray*} LDL^T \end{eqnarray*}$ Zerlegung erhält man doch, in dem man ganz normal Gauß anwendet und dann in die Matrix D die Pivotelemente schreibt; das geht natürlich nur bei symmetrischen Matrizen (A ist hier ja symmetrisch).

Und die Choleskyzerlegung folgt dann ja daraus mittels $\begin{eqnarray*} D^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ usw. (Sofern die Matrix auch noch positiv definit ist, ist hier A ja, sonst hätte man ja nicht die Choleskyzerlegung machen können.)

Das heißt der Zusammenhang ist hier, dass man die Matrix L aus der LR-Zerlegung nehmen kann und so eine Matrix D findet und mit der dann Cholesky bilden kann...?

[Also im Grunde ist hier doch nichts Anderes gefragt wie: Wie kommt man zum Choleskyverfahren aus dem LR-Verfahren? Das heißt der Zusammenhang ist:

[WS] Lineare Gleichungssysteme 2 - direkte Verfahren

[um Dich zu zitieren] ??

03.02.2011, 14:32

tigerbine

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RE: LR-Zerlegung/ Cholesky

Zitat:

Die $\begin{eqnarray*} LDL^T \end{eqnarray*}$ Zerlegung erhält man doch, in dem man ganz normal Gauß anwendet und dann in die Matrix D die Pivotelemente schreibt;

Das habe ich so nie betrachtet, da müßte ich die Algorithmen im Detail vergleichen. Meine Besipielsammlung spricht zumindest nicht dagegen, die L Matrix aus Gauss (1er Diagonale) zu nehmen und als D die Diagonale von R. Garantieren kann ich es dir leider nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.02.2011, 14:48

Gast11022013

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RE: LR-Zerlegung/ Cholesky
Eigentlich bin ich ja auch nur an dem Zusammenhang interessiert.

Was Du oben geschrieben hast:

"Der Zusammenhang im konkreten Fall hier ist klar. Choleksy bekommst du aus LR, wenn du in die Diagonale von L die pos. "Wurzel aus der Diagonalen" von R reinschreibst."

Das ist ja nichts Anderes als die allgemeine Herleitung des Choleskyverfahren aus dem $\begin{eqnarray*} LDL^T \end{eqnarray*}$ - Verfahren anhand dieses Beispiels. Und das $\begin{eqnarray*} LDL^T \end{eqnarray*}$ - Verfahren wiederum kann man meines Wissens wirklich so leicht aus der LR-Zerlegung gewinnen (vorausgesetzt, die Matrix erfüllt die dafür nötigen Eigenschaften, wie es hier der Fall ist).

Demnach wäre meine Antwort, ob ein Zusammenhang besteht:

Ja, es besteht ein Zusammenhang und zwar über den "Umweg" der $\begin{eqnarray*} LDL^T \end{eqnarray*}$ - Zerlegung.

Etwas Anderes fällt mir dazu nicht ein, vllt. ist dies ja gemeint.

EDIT:

Hier hat z.B. jemand eine Frage gestellt, aus deren Formulierung man wohl schließen kann, dass man die $\begin{eqnarray*} LDL^T \end{eqnarray*}$ -Zerlegung mittels der LR-Zerlegung ermitteln kann:

http://matheraum.de/forum/LDL_T_Zerlegung/t591690

03.02.2011, 15:03

tigerbine

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RE: LR-Zerlegung/ Cholesky
Guck dir nochmal mein Beispiel an. Da ist bei ja nicht nur die Diagonale anders in der Chol. Zerlegung. Das meinte ich.

03.02.2011, 15:12

Gast11022013

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RE: LR-Zerlegung/ Cholesky
Aber auch hier gibt es ja den grundsätzlichen Zusammenhang, dass man aus der LR-Zerlegung ganz leicht die $\begin{eqnarray*} LDL^T \end{eqnarray*}$ Zerlegung ermitteln kann und somit auch die Choleksy-Zerlegung.

Wahrscheinlich ist es bei der von mir gestellten Aufgabe extra ein Beispiel, wo man diese grundsätzliche Möglichkeit von der LR-Zerlegung zur Cholesky-Zerlegung zu kommen, sehr schnell sehen kann.

[Ich hoffe ich verzettel mich híer nicht und schreibe keinen Blödsinn.]

03.02.2011, 15:17

tigerbine

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RE: LR-Zerlegung/ Cholesky
Ich fasse zusammen:

LDLT und Cholesky: ja.

LR und LDLT: weiß ich nicht. Muss man die Algorithmen vergleichen.

Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.02.2011, 15:18

Gast11022013

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RE: LR-Zerlegung/ Cholesky
http://matheraum.de/forum/LDL_T_Zerlegung/t591690

Dort hat zum Beispiel jemand eine Frage gestellt, aus der ich wirklich annehme, dass dieser Zusammenhang besteht:

Nämlich, soll dort die $\begin{eqnarray*} LDL^T \end{eqnarray*}$ - Zerlegung mit Hilfe der LR-Zerlegung ermittelt werden.

03.02.2011, 15:22

tigerbine

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RE: LR-Zerlegung/ Cholesky
Link geht bei mir nicht. Versuch es einfach. Ich kann das nun nicht nachrechnen.

03.02.2011, 15:23

Gast11022013

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RE: LR-Zerlegung/ Cholesky
Ja, die Seite ist momentan mit Serverfehlern belastet.
Sonst geht der Link.

Okay, ich dank Dir für die Aufmerksamkeit und die Unterstützung! Wink

Wink

03.02.2011, 15:27

tigerbine

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RE: LR-Zerlegung/ Cholesky
Bis denn. Wink

Wink

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