Zeige, f ist konstant

03.02.2011, 15:20	Erstsemester	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige, f ist konstant Hallo, ich sitze vor folgender Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} \alpha > 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit der Eigentschaft $\begin{eqnarray} \left \| f(x) -f(y) \right \|\leq \left \| x-y \right \|^{\alpha } \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x,y \epsilon \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Zu Zeigen ist, dass f konstant ist. Meine Idee: $\begin{eqnarray} \frac{\left \| f(x)-f(y) \right \|}{\left \| x-y \right \|}\leq \left \| x-y \right \|^{\alpha -1} \end{eqnarray}$ Dann gehe ich davon aus, dass ein Grenzwert $\begin{eqnarray} y \to \ x \end{eqnarray}$ existiert $\begin{eqnarray} \left \| \lim\limits_{y \rightarrow x} \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \right \|\leq \lim\limits_{y \rightarrow x}\left \| x-y \right \|^{\alpha-1 } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left \| f'(x) \right \|\leq 0\Rightarrow f\;ist\;konstant \end{eqnarray}$ darf ich das so machen?
03.02.2011, 17:46	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Idee ist gut. Sei also $\begin{eqnarray} p\in\mathbb R \end{eqnarray}$ ein beliebiger aber fester Punkt. Du willst zeigen, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ differenzierbar ist und dass $\begin{eqnarray} f'(p)=0 \end{eqnarray}$ . Weil $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ beliebig in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ war folgt, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ differenzierbar ist und die Ableitung konstant Null ist, was die Behauptung gibt. Nun musst du also ordentlich beweisen, dass $\begin{eqnarray} \lim_{x \to p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p} \end{eqnarray}$ existiert. Fange also an: Sei $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ vorgegeben. Betrachte alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x-p\|<\sqrt[\alpha-1]{\epsilon} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\neq p \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \left\|\frac{f(x)-f(p)}{x-p}\right\|=? \end{eqnarray}$ .
03.02.2011, 19:11	Erstsemester	Auf diesen Beitrag antworten »
Daraus kann ich ja dann folgern, dass $\begin{eqnarray} \left \| \frac{f(x)-f(p)}{x-p} \right \|\leq \left \| x-p \right \|^{\alpha -1}<\epsilon \end{eqnarray}$ leider kann ich dir nicht ganz folgen, wie ich dann die differenzierbarkeit zeigen kann.
03.02.2011, 19:57	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hast du doch eben.
03.02.2011, 20:00	Erstsemester	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke!
03.02.2011, 20:05	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber nach deiner Frage nach zu urteilen sollstest du dir die Definition des Grenzwerts nochmal ansehen.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »