Surjektiv, Injektiv, Bijektiv

03.02.2011, 17:37

Ibn Batuta

Surjektiv, Injektiv, Bijektiv

Ich werde noch wahnsinnig mit diesen Aufgaben. Habe dieses Semester schon schwierigere Sachen gezeigt, aber die Sache mit surjektiv, injektiv und bijektiv macht mich noch ganz irre.

Also sei $\begin{eqnarray*} f:X\rightarrow Y \end{eqnarray*}$ eine Abbildung. Zeige:

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist genau dann surjektiv, wenn $\begin{eqnarray*} \forall A\subset Y \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(A))=A \end{eqnarray*}$ .

Nehme die Hinrichtung an, also sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv. Dann gibt es $\begin{eqnarray*} \forall y \in Y \ \exists x \in X\colon\, f(x)=y \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es unter diesen $\begin{eqnarray*} y\in Y \end{eqnarray*}$ Elemente $\begin{eqnarray*} y^* \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} \in A \end{eqnarray*}$ sein müssen, da $\begin{eqnarray*} A\subset Y \end{eqnarray*}$ ist. Die Urbilder dieser $\begin{eqnarray*} y^* \end{eqnarray*}$ entstammen aus einer Menge $\begin{eqnarray*} B\subset X \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A)=B \end{eqnarray*}$ ist und mit $\begin{eqnarray*} f(B)=A \end{eqnarray*}$ folgt.

Das ist mir aber alles ein bisschen zu viel Geschwafel. Wie schreibe ich das kompakter hin? Über die Rückrichtung möchte ich vorerst noch gar nicht reden.

Ibn Batuta

03.02.2011, 17:50

tmo

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Zunächst gilt die Inklusion $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(A)) \subset A \end{eqnarray*}$ immer.

Zu zeigen ist noch die andere Inklusion. Sei dazu $\begin{eqnarray*} y \in A \subset Y \end{eqnarray*}$ .
Dann gibt es nach Vorraussetzung ein $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$

Was folgt daraus für x?

03.02.2011, 18:21

Ibn Batuta

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Gute Frage, was für x folgt. unglücklich

x kann ja mehrere Bilder haben, u.a. eben ein $\begin{eqnarray*} y\in Y \end{eqnarray*}$ , das nicht in A enthalten ist. Mehr fällt mir dazu leider nicht ein.

Ibn Batuta

03.02.2011, 18:22

tmo

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Immer dran denken, worauf die hinaus willst.

Du hast doch hier ein x gegeben mit $\begin{eqnarray*} f(x) \in A \end{eqnarray*}$ . also liegt x wodrin?

03.02.2011, 18:25

Ibn Batuta

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Moment.. $\begin{eqnarray*} f(x)\in A \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f(x)^{-1}\in X \end{eqnarray*}$ . Oder? verwirrt

Ibn Batuta

Nachtrag: Weitere Aufgaben werden in Kürze folgen. Soll ich hierfür Extra-Threads eröffnen oder die hier reinschreiben?

03.02.2011, 18:32

tmo

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
Moment.. $\begin{eqnarray*} f(x)\in A \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f(x)^{-1}\in X \end{eqnarray*}$ . Oder? verwirrt

Was soll letzteres denn bedeuten? Das macht keinen Sinn.

Für die anderen Aufgaben machst du am besten einen neuen Thread auf.

03.02.2011, 18:36

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von tmo
Was soll letzteres denn bedeuten? Das macht keinen Sinn.

Meine Überlegung war folgende:
Wenn $\begin{eqnarray*} f(x)=y\in A \end{eqnarray*}$ ist, also das Bild von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} y\in A \end{eqnarray*}$ ist, dann ist doch das Urbild des Bildes von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wieder $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ selber, also $\begin{eqnarray*} f(x)^{-1}=x\in X \end{eqnarray*}$ .

Ibn Batuta

03.02.2011, 18:37

tmo

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Aber was soll denn $\begin{eqnarray*} f(x)^{-1} \end{eqnarray*}$ überhaupt bedeuten? Was meinst du mit diesem Ausdruck?

03.02.2011, 18:40

Ibn Batuta

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Das Urbild des Bildes von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Ibn Batuta

03.02.2011, 18:43

tmo

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Aber f(x), das Bild von x, ist doch ein Funktionswert, also eine "Zahl". Das Urbild kann man aber nur auf Mengen loslassen.

Du bist etwas auf dem Holzweg.

Wenn $\begin{eqnarray*} f(x) \in A \end{eqnarray*}$ gilt, dann ist $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ .

Das ist einfach nur Definition.

03.02.2011, 18:55

Ibn Batuta

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Ja, natürlich. Ärgerlich solche elementare Unwissenheit. böse

Nun weiß ich also, dass $\begin{eqnarray*} f(x)\in A\subset Y \end{eqnarray*}$ und dass $\begin{eqnarray*} x\in f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ ist. Zu zeigen ist doch noch, dass wirklich das gilt, oder: $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(A))\supset A \end{eqnarray*}$ ?

Ibn Batuta

04.02.2011, 06:56

tmo

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Ja. Da wir y \in A genommen haben, wollen wir also auf $\begin{eqnarray*} y \in f(f^{-1}(A)) \end{eqnarray*}$ hinaus. Ich hoffe das war dir die ganze Zeit klar !?!

Wir wissen schon $\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$ .
Von hier aus ist es wirklich nur noch ein einziger Schritt. Noch einmal eine Definition anwenden.

04.02.2011, 10:26

ArnoldW

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Kleiner Hinweis
Der Beweis
$\begin{eqnarray*} f~ist~surjektiv~\Leftrightarrow~ \forall D \subseteq Y( D \subseteq f(f^{-1}(D))) \end{eqnarray*}$

ist
unter
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=444510&threadview=0&hilight=&hilightuser=0&page=2
zu finden.

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