Vergleichskriterium

26.11.2006, 18:45

MCF

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Vergleichskriterium

hi ihr

smile

ich soll mit hilfe des vergl. kriteriums konvergenz beweisen. gegeben sind x_k (k € IN) und y_k (k € IN) zwei folgen reeller, positiver zaheln, sodass:

lim (k-> oo) (x_k) / (y_k) = c (wobei c ungleich 0)

also

sigma (k=0 bis oo) x_k konvergent <=> sigma (k=0 bis oo) y_k konvergent

--- soweit die aufgabe

der zweite teil bedeutet ja, dass wenn x konvergent ist, dass auch y konvergiet und umgekehrt?!

wäre c = 0 wäre es dann automatisch divergent??
wie beweise ich das? mit einem beispiel??

26.11.2006, 19:15

Abakus

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RE: Vergleichskriterium
Mit einem Beispiel kannst du nur etwas widerlegen.

Wo hängst du bei der Aufgabe bzw. was ist das Problem ?

Grüße Abakus smile

smile

26.11.2006, 19:38

MCF

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das gegebene kriterium heißt:

lim (k->oo) x_k / y_k = c wobei c ungleich 0

daraus folgt dass die reihe x konvergiert wenn y konvergiert und umgekehrt.

dieses kriterium soll ich nun mithilfe eines vergleichskriteriums beweisen.
habe aber keinen schimmer wie ich das angehen soll..

26.11.2006, 19:47

Abakus

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Du brauchst erstmal 2 Dinge:

- was sagt das Vergleichskriterium aus ?

- was sagt deine asymtotische Limes-Voraussetzung aus ? (also dass der Quotient der beiden Folgen einen Limes hat) Kannst du das in eine griffigere Form bringen ?

Kannst du beides formulieren ?

Grüße Abakus smile

smile

26.11.2006, 19:56

MCF

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also der limes sagt mir, dass je größer ich mein k wähle, der bruch gegen eine zahl c konvergiert.
dass c nicht null ist, sagt mir, dass mein bruch nicht divergent ist.
damit ist der quotient definitiv konvergent.

heißt also wenn ich das zerlege

1 / y_k * x_k /1

folgt ja schonmal die konvergenz von x_k. richtig?

weil wenn ich

lim x_k -> oo
lim 1/y_k -> 0 ist ja dann eine harmonische reihe !!

1/y_k muss ja dann divergent sein, oder??

das war jetzt ein spontaner einfall..

26.11.2006, 20:05

Abakus

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Zitat:

Original von MCF
heißt also wenn ich das zerlege

1 / y_k * x_k /1

folgt ja schonmal die konvergenz von x_k. richtig?

weil wenn ich

lim x_k -> oo
lim 1/y_k -> 0 ist ja dann eine harmonische reihe !!

1/y_k muss ja dann divergent sein, oder??

$\begin{eqnarray*} x_k = y_k = k \end{eqnarray*}$ ergibt beides divergente Folgen zB, owohl der Quotient konstant 1 ist. $\begin{eqnarray*} (x_k) \end{eqnarray*}$ ist also keineswegs konvergent.

Was mir vorschwebt: kannst du eine der Folgen irgendwie durch die andere einschachteln ?

Grüße Abakus smile

smile

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26.11.2006, 20:20

MCF

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ist der zerlegeweg also keine gute idee? Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich geb dir einfach mal teilaufgabe b) dazu, vielleicht hilfts:

anhand dieses kriteriums (in a) beweisen in b) anwenden) sollen wir die konvergenz von

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ \frac{(2k+1)(3k+3)}{5k^4-3k^2+1} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ 3^k sin \frac{1}{2^k-3} \end{eqnarray*}$

bestimmen...

26.11.2006, 20:28

Abakus

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Das wären Beispiele zur Anwendung dazu, OK.

Was weiterführend wäre, ist die Existenz von Konstanten, so dass gilt:

$\begin{eqnarray*} k_1 \cdot y_k \leq x_k \leq k_2 \cdot y_k \end{eqnarray*}$

Die Existenz dieser Konstanten müsstest du vom Grenzwert der Quotientenfolge her begründen können.

Das ist dann der Ausgangspunkt für das Vergleichskriterium.

Grüße Abakus smile

smile

26.11.2006, 20:50

MCF

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juche, jetzt hat das eine geklappt, jetzt bin ich motiviert Augenzwinkern

Augenzwinkern

was hälst du zur lösung hiervon??

http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwertkriterium

26.11.2006, 21:01

MCF

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sorry ich bin deine beiträge nicht am ignorieren, habe nur grade erst den k vorschlag gesehen...

$\begin{eqnarray*} k_1 \cdot y_k \leq x_k \leq k_2 \cdot y_k \end{eqnarray*}$

warum der umweg über diese konstanten?? die muss ich ja dann auch noch bestimmen ;D

geht das nicht, dass ich das auch verstehe? smile

smile

vielleicht kannst du mir das mal an einem von den 2 beispielen zeigen, sodass ich den weg nachvollziehen kann, dann fällt mir das einfacher sowas zu beweisen...

ich fang mal an, will ja nicht, dass du denkst, du sollst mir meine hausaufgaben machen.. muss es ja irgendwann doch verstehen..

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ \frac{(2k+1)(3k+3)}{5k^4-3k^2+1} \end{eqnarray*}$

dabei ist das (2k + 1)(3k + 3) mein x_k
und 5k^4 - 3k^2 +1 mein y_k

nach dem genannten krit. (wie heißt das denn eigentlich?)

würde das bedeuten

wenn sigma (k=0 -> oo) (2k + 1)(3k + 3) konvergiert, so ist sigma (k=0 -> oo) 5k^4 - 3k^2 +1 auch konvergent

das heißt ich müsste mir nur zb zähler anschaun, wenn der konvergent ist, ist mein nenner auch konvergent.
aber eine definitive aussage zur konvergenz des quotienten habe ich ja eigentlich nirgendwo?!

konvergent / konvergent = ..
divergent / konvergent = ..

so pauschalaussagen dazu gibt es wohl nicht, oder?? smile

smile

26.11.2006, 23:43

Abakus

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Zitat:

Original von MCF
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ \frac{(2k+1)(3k+3)}{5k^4-3k^2+1} \end{eqnarray*}$

dabei ist das (2k + 1)(3k + 3) mein x_k
und 5k^4 - 3k^2 +1 mein y_k

Wenn du die Bedingung über den Limes des Quotienten anschaust, siehst du, dass 0 als Grenzwert nicht erlaubt ist. Genau das käme hier jedoch raus.

Für den ersten Versuch aber schon gut. Vielleicht tut es ja eine andere Aufteilung ?

Grüße Abakus smile

smile

EDIT: klasse, dass du Latex benutzt; noch besser, wenn du das durchgängig tun könntest Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.11.2006, 01:42

MCF

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es ist dann wohl sogar sehr wahrscheinlich, dass ich eine andere aufleitung brauch Big Laugh

Big Laugh

wenn du mir die jetzt sogar noch erklären kannst, dann benutz ich bei allen weiteren fragen nur noch latex ;D

27.11.2006, 13:51

Abakus

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Zitat:

Original von MCF
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ \frac{(2k+1)(3k+3)}{5k^4-3k^2+1} \end{eqnarray*}$

Der Nenner der Summandenfolge ist ein biquadratisches Polynom und in ein Produkt (zB in 2 Polynome 2-ten Grades) zerlegbar.

Du müsstest also $\begin{eqnarray*} 5k^4-3k^2+1 \end{eqnarray*}$ in ein Produkt zerlegen.

Damit hättest du 4 Faktoren (2 im Zähler und 2 im Nenner) in der Summandenfolge, womit dir die Ermittlung der beiden Quotientenfolgen möglich ist.

Grüße Abakus smile

smile

27.11.2006, 19:56

MCF

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also nenner zb.:

(5 k^2 + 1) (k^2 -3/5)+1 ??

27.11.2006, 20:01

Abakus

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Zitat:

Original von MCF
(5 k^2 + 1) (k^2 -3/5)+1 ??

Das ist eine Summe, gesucht ist ein Produkt mit 2 Faktoren. Darüberhinaus RF.

Grüße Abakus smile

smile

28.11.2006, 00:22

MCF

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mhh?? :/

28.11.2006, 11:23

MCF

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oh rechenfehler gesehn.. das heißt wenn ich jetzt einen kompletten nenner als faktor hab (wie den zähler) dann komm ich weiter? habe grade leider nicht so viel zeit, aber ich werd mich bis heute abend nochmal ransetzen...

lg

28.11.2006, 13:37

Abakus

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RE: Vergleichskriterium
Ich denke wir brauchen einen anderen Ansatz. Zunächst nochmal das Vergleichskriterium:

Zitat:

Gegeben sind $\begin{eqnarray*} (x_k)_{k \in \mathbb N},~ (y_k)_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ zwei Folgen reeller, positiver Zahlen mit:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac{x_k}{y_k} = c \neq 0 \end{eqnarray*}$

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} x_k \text{ konvergent } \Leftrightarrow \sum_{k=0}^{\infty} y_k \text{ konvergent } \end{eqnarray*}$

Du möchtest untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~\frac{(2k+1)(3k+3)}{5k^4-3k^2+1} \end{eqnarray*}$

Das heißt $\begin{eqnarray*} x_k := \frac{(2k+1)(3k+3)}{5k^4-3k^2+1} \end{eqnarray*}$ ist von Interesse.

Jetzt geht es darum, irgendeine Folge $\begin{eqnarray*} (y_k) \end{eqnarray*}$ anzugeben, so dass die obigen Voraussetzungen möglichst erfüllt sind.

Betrachte zB $\begin{eqnarray*} y_k := \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ , hat der Limes $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac{x_k}{y_k} \end{eqnarray*}$ dann die nötigen Eigenschaften ?

Grüße Abakus smile

smile

28.11.2006, 18:22

MCF

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na das wäre dann lim von k^2 , der strebt gegen unendlich...

(sorry, wenn ich mich so dumm anstelle, aber ich muss das morgen früh abgeben, wie gesagt ich will nicht, dass du mir meine hausaufgaben machst.. aber das mit den ressourcen habe ich unheimlich gut kapiert (kanns sogar erklären smile

smile

). kannst du mir die lösung verraten also den beweis und die aufgabe, dass ich wenigstens meine punkte bekomme und dann löcher ich dich mit fragen..
sorry nochmal, ich weiß das ist nicht der sinn, aber wie gesagt in der klausur muss ichs können und um dahin zu kommen brauch ich die punkte Augenzwinkern

Augenzwinkern

vielen vielen dank im voraus und liebe grüße

28.11.2006, 20:35

Abakus

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RE: Vergleichskriterium
Es ist:

$\begin{eqnarray*} x_k := \frac{(2k+1)(3k+3)}{5k^4-3k^2+1} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} y_k := \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$

Daher gilt erstmal (einsetzen und ausrechnen):

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac{x_k}{y_k} = \lim_{k \to \infty} ~\frac{\frac{(2k+1)(3k+3)}{5k^4-3k^2+1}}{\frac{1}{k^2}} = ~...~= \frac{6}{5} \neq 0 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ konvergent ist, folgt nach unserem Kriterium die Konvergenz der zu untersuchenden Reihe.

Grüße Abakus smile

smile

28.11.2006, 21:20

MCF

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ach so meinst du das... aber ist die aufgabe denn so gemeint??? wir haben ja eine reihe mit zähler und nenner.. ich hab das so verstanden, als wäre der zähler x_k und der nenner y_k... ^^

dann beruht die regel also darauf, eine reihe, deren konvergenz man kennt, in den zähler oder nenner zu haun *g mir geht grad eine ganze lichterkette auf Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich könnte dann also immer 1/k^2 nehmen (da ich ja weiß dass die konvergent ist) und das an beliebigen reihen zeigen??! (wäre sicherlich bei einigen bsp. rechnerisch sinnvoller, eine andre zu nehmen, aber rein theoretisch..?!)

aber wie beweise ich denn nun das gesetz??

Gott

Gott

vielen dank (ich hätt nicht gedacht, dass mir das diese woche noch in den kopf geht...)

28.11.2006, 21:34

Abakus

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Zitat:

Original von MCF
ich könnte dann also immer 1/k^2 nehmen (da ich ja weiß dass die konvergent ist) und das an beliebigen reihen zeigen??! (wäre sicherlich bei einigen bsp. rechnerisch sinnvoller, eine andre zu nehmen, aber rein theoretisch..?!)

Nein, die geht nicht immer. Die Bedingung mit dem Limes muss erfüllt sein (und der Limes könnte 0 sein oder auch gar nicht existieren, zB könnte der Quotient nach Unendlich hin "abhauen").

Die wesentlichen Beweisbestandteile hast du schon:

Wenn du aus dem Grenzwert folgende Ungleichungskette

$\begin{eqnarray*} k_1 \cdot y_k \leq x_k \leq k_2 \cdot y_k \end{eqnarray*}$

gefolgert hast, und zB weißt, dass eine der betrachteten Reihen konvergiert, so hast du damit sofort eine Majorante (-> Majorantenkriterium) und kannst die Konvergenz der anderen Reihe folgern.

Grüße Abakus smile

smile

28.11.2006, 21:44

MCF

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jetzt weiß ich auch, worauf du mit deiner ungleichung hinauswillst^^ smile

smile

aber wie verpacke ich sowas in einen mathematisch hübschen beweis??

28.11.2006, 22:23

Abakus

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RE: Vergleichskriterium
Also die Behauptung ist:

Zitat:

Gegeben sind $\begin{eqnarray*} (x_k)_{k \in \mathbb N},~ (y_k)_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ zwei Folgen reeller, positiver Zahlen mit:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac{x_k}{y_k} = c \neq 0 \end{eqnarray*}$

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} x_k \text{ konvergent } \Leftrightarrow \sum_{k=0}^{\infty} y_k \text{ konvergent } \end{eqnarray*}$

Zeigen musst du nun 2 Richtungen:

zur Hinrichtung:

Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} x_k \text{ konvergent } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac{x_k}{y_k} = c \neq 0 \end{eqnarray*}$

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} y_k \text{ konvergent } \end{eqnarray*}$

Zunächst existiert ein positives $\begin{eqnarray*} \epsilon < \frac{c}{2} \end{eqnarray*}$ und ein Index $\begin{eqnarray*} N > 0 \end{eqnarray*}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray*} k > N \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} x_k \geq (c - \epsilon) \cdot y_k \end{eqnarray*}$

Das bedeutet: $\begin{eqnarray*} \frac{x_k}{(c - \epsilon)} \geq y_k > 0 \end{eqnarray*}$ , d.h. die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} y_k \end{eqnarray*}$ besitzt eine konvergente Majorante und konvergiert damit.

Die andere Richtung zeigst du fast analog (daran kannst du dich versuchen).

Grüße Abakus smile

smile

29.11.2006, 10:46

MCF

Auf diesen Beitrag antworten »

reicht es da nicht x und y zu tauschen?!

29.11.2006, 17:00

Abakus

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Zitat:

Original von MCF
reicht es da nicht x und y zu tauschen?!

Ja, das geht auch. Du musst es nur entsprechend begründen, wieso du das darfst und was sich ändert (sowie erklären, was überhaupt genau getauscht wird).

Grüße Abakus smile

smile

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