positiv definite Matrix

03.02.2011, 18:26	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
positiv definite Matrix Meine Frage: Zeigen Sie, dass die Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 4 & -14 & -2 \\ -14 & 65 & 3 \\ -2 & 3 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ positiv definit ist. [Ich kannte bisher nur das Kriterium, dass $\begin{eqnarray} x^TAx>0 \forall x\in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ gelten muss, damit positive Definitheit vorliegt. Hiermit bin ich jedoch nicht weiter gekommen, daher suche ich nach einem alternativen Kriterium.] Meine Ideen: Ich habe hier im Matheboard gelesen, dass eine quadratische Matrix genau dann positiv ist, wenn die Hauptminoren positiv sind. Das möchte ich gerne ausprobieren. Ich würde sagen, dazu betrachtet man die Determinanten der Hauptminoren, wenn diese größer als Null sind, ist die Matrix positiv definit, richtig? 1. $\begin{eqnarray} \det(\begin{pmatrix} 4 \end{pmatrix})=4>0 \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} \det(\begin{pmatrix} 4 & -14 \\ -14 & 65 \end{pmatrix})=64>0 \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} \det(A)=64>0 \end{eqnarray}$ (berechnet mit der Sarrus-Regel) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist positiv definit. Wenn ich richtig liege, genügt mir ein "Ja". Wenn ich das Kriterium falsch aufgefasst habe, bitte ich um eine kleine Erläuterung, wie es richtigerweise angewandt werden muss. Danke!
03.02.2011, 18:36	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: positiv definite Matrix Du liegst richtig.
03.02.2011, 18:37	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: positiv definite Matrix Kleine Quizfrage: Besitzt A eine Cholesky-Zerlegung?
03.02.2011, 18:43	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: positiv definite Matrix Die Matrix ist positiv definit und symmetrisch, von daher lautet meine Antwort: Ja, diese Matrix besitzt eine Cholesky-Zerlegung, diese lautet: $\begin{eqnarray} A=\underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 7 & 4 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}}_{=L}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 7 & -1 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_{=L^T} \end{eqnarray}$
03.02.2011, 18:45	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: positiv definite Matrix

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