Überprüfung der Punkte A,B,C,D in einer Ebene liegen?!?!

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oschili Auf diesen Beitrag antworten »
Überprüfung der Punkte A,B,C,D in einer Ebene liegen?!?!
Die gegebenen Koordinaten:
A(2|-5|0) B(3|4|7) C(4|-4|3) D(-2|10|5)

Was ist eine Ebene?
Eine Ebene ist doch ein zweidimensionaler Raum, das heißt in einem dreidimensionalen Koordinatensystem, dürften die Punkte nur auf höchstens 2 der 3 Achsen verschoben sein?? Die annahme ist doch richtig oder?

Um nun herauszufinden ob die auf einer Ebene liegen, habe ich mir gedacht ich rechne den Vektor AB aus, und eine verschiebung muss 0 sein?!
Ist das so richtig überlegt, weil eine andere Lösung hätte ich nicht?

Schonmal danke für das Lesen und die Hilfe (:
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung der Punkte A,B,C,D in einer Ebene liegen?!?!
Was Du mit der Verschiebung auf zwei Achsen meinst, ist mir nicht klar. verwirrt

Am einfachsten ist es, aus drei Punkten eine Ebene zu definieren, und den vierten Punkt da einsetzen. Wenn er die Gleichung erfüllt, ist er Element der Ebene, sonst nicht.

Z. B.: Punkt A für den Stützvektor nehmen; die Vektoren AB und AD sind die Spannvektoren; Punkt C wird getestet.
 
 
oschili Auf diesen Beitrag antworten »

@Gualtiero: Also ich habe ja im dreidimensionalen Raum und da habe ich ja die möglcihkeit einen Punkt in drei Richtungen zu verschieben. Und auf einer Ebene müssten sie ja sein, wenn einer der Vektorverschiebungen 0 ist.

Also bei deiner Überlegung.....
Der Stützvektor ist doch der Ortsvektor von A! Aber was sind nochmal die Spannvektoren?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Die Spannvektoren einer Ebene sind zwei voneinander unabhängige Vektoren, die die Ausrichtung der Ebene im Raum definieren. Anders gesagt, beide sind zur Ebene parallel.

Ich habe diesen Vorschlag gemacht, weil er mir als der einfachste Ansatz vorkommt. Wenn Du das aber im Unterricht noch nicht hattest, ist es wenig sinnvoll, in dieser Richtung weiterzumachen.

Wie habt Ihr solche Aufgaben gelöst, welche Formen der Ebenendarstellung kennst Du schon?
oschili Auf diesen Beitrag antworten »

jaa was soll ich dazu sagen :P
In diesem Thema bin ich ziemlich unwissend, entweder mein mathelehrer schmeißt uns mal wieder ins kalte wasser oder ich habe geschlafen ! Das kommt aber sehr selten vor !
Von daher kenne ich gar nichts davon unglücklich
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt ja, wir geben keine kompletten Lösungen, die Fragesteller müssen mitarbeiten.
Dann bilde mal die beiden Spannvektoren, wie ich gesagt habe und setze dann in dieses Modell einer Ebenengleichung ein (= Parameterform):



Links steht ein Vektor, der diese Gleichung erfüllen soll; da kannst Du dann C einsetzen.
Dann kommt der Stützvektor, danach die beiden Stützvektoren.

Wie man Vektoren berechnet, musst Du schon wissen; wir können nicht bei Null beginnen.
oschili Auf diesen Beitrag antworten »


Da die Vektoren ja nicht c entsprechen, gehe ich davon aus das c nicht auf einer Ebene liegt?
Aber was genau ist jetzt eine ebene?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht so schnell. Du hast die Parameter r und s vergessen; und

Verbessere das und dann erstelle drei lineare Gleichungen, indem Du die "x-, y- und z-Zeile" untereinander schreibst. Dann löse dieses LGS.

Muss auch erst durchrechnen.
oschili Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, LGS lösen!


Mein Taschenrechner spuckt mir keine Nullzeile aus also müssten die Vektoren linear unabhängig sein. Damit liegen diese nicht auf einer Ebene?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Warum lässt Du die Parameter r und s beiseite!?

Und dieses LGS kannst Du auch ohne TR lösen, das ist in drei Minuten erledigt.

Und dazu:
Zitat:
Aber was genau ist jetzt eine ebene?

Die Ebene ist die Menge aller Punkte bzw. Ortsvektoren, die Du mit dem Algorithmus (auf der rechten Seite) der Parametergleichung erzeugen kannst.
Du hast zwei beliebig skalierbare Vektoren, die jeden Punkt in einer Ebene beschreiben können. Und diese zwei Vektoren sind am Stützvektor "festgemacht", damit ist genau eine - von unendlich vielen - solcher parallelen Ebenen definiert.

Bin dann für heute OFF. Wink
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