Abbildungen - Kern, Bild, Dimension, etc

03.02.2011, 19:59

nighthawk1337

Abbildungen - Kern, Bild, Dimension, etc

Hallooo,

hab mal kurz ein paar Fragen zu (linearen) Abbildungen:
Nehmen wir am besten ein triviales Beispiel:
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \\ (x_1,x_2,x_3) \rightarrow (0,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$

Kern einer Abbildung: Das sind alle Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Also in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \{ (x_1,0,0) | x_1 \in \mathbb{R} \} \end{eqnarray*}$ ?
Bild einer Abbildung: Alle Werte, die f(x) annimmt, wenn man x reinpackt, also hier einfach $\begin{eqnarray*} \{ (0,x_2,x_3) | x_2,x_3 \in \mathbb{R} \} \end{eqnarray*}$ ??
Jetzt wirds langsam kompliziert: Dimensionen. den Begriff versteh ich noch überhaupt nicht richtig. Ist das die Anzahl der frei wählbaren in dem jeweiligen Konstrukt? Also $\begin{eqnarray*} dim(Kern(f))=1 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ einzige unbekannte ist, $\begin{eqnarray*} dim(Bild(f))=2 \end{eqnarray*}$ , weil x_2 und x_3 frei gewählt werden?
Rang einer Abbildung: In Matrixform bringen und dann die Anzahl linear unabhängiger Zeilen-/Spaltenvektoren bestimmen? Geht das auch ohne eine Matrix?

Ich denke, dass die Dinge, die ich hier frage, schonmal hier beantwortet wurden, ich hab auch schon einige Threads gelesen. Möchte aber sicher gehn, dass ich das verstanden hab Augenzwinkern

Vielen Dank schonmal für alle Antworten!

03.02.2011, 20:05

Cel

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Hallo,

so ziemlich überall ja.

Bei 3. hört es sich ein bisschen wischi-waschi an. Die Dimension ist die Anzahl der Basisvektoren, die den Raum aufspannen. Was für eine Basis hat nun der Kern? $\begin{eqnarray*} (x_1, 0, 0) = x_1 \cdot (1,0,0) \end{eqnarray*}$ . (1,0,0) ist also eine Basis des Kerns. Und es gibt nur einen Vektor, daher Dimension 1. Aber intuitiv stimmt deine Vorstellung auch, es ist mir nur kein Satz dazu bekannt.

4. Genau. Stelle die Abbildung mit einer Matrix dar.

03.02.2011, 20:12

Mulder

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RE: Abbildungen - Kern, Bild, Dimension, etc
Zum Rang:

Zitat:

Original von nighthawk1337
Geht das auch ohne eine Matrix?

Der Rang ist einfach die Dimension des Bildes. Und die hast du schon bei 3. angegeben. Augenzwinkern

03.02.2011, 20:43

nighthawk1337

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RE: Abbildungen - Kern, Bild, Dimension, etc
Danke für die Antworten smile

Also zu 4:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Die 2te und 3te Zeile sind offensichtlich linear unabhängig, der Nullvektor ist immer linear abhängig (z.B. 0*x_1=(0,0,0)). Daher ist Rang(A)=2.

@Mulder: cooler Zusammenhang! Spart etwas an Arbeit Augenzwinkern

Zu 3:
Also Ich sollt dann jeweils den Unterraum als Linearkombination schreiben um daraus dann einfach die Basis rauszukriegen?

Bsp: $\begin{eqnarray*} Bild(f)= \left\{ x_2 \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+x_3 \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ . Dann $\begin{eqnarray*} B=\left\{ \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dim(Kern(f))=|B|=2 \end{eqnarray*}$ .

03.02.2011, 23:51

TommyAngelo

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dim(Bild(f)) meinst du sicherlich.

04.02.2011, 09:02

Cel

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TommyAngelos Einwand ist berechtigt. Aber ansonsten sieht das gut aus, genau so meinte ich es.

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