Schnittpunkt zweier Geraden

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geraden Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittpunkt zweier Geraden
Hallo zusammen,

ich habe eine Gerade, die durch die Punkte A(6|0|6) und B(3|6|0) läuft. Eine andere Gerade geht durch C(0|0|6) und D(6|6|0). Nun soll ich herausfinden, ob sie sich schneiden. Dazu stelle ich die Geradengleichung auf und erhalte folgende Geraden:





Nun setze ich die Geraden g und h gleich und erhalte folgeneds Gleichungssystem:

I 6 - 3r = 6s
II 6r = 6s
II 6 - 6r = 6 - 6s

umformen:

I 3r + 6s = 6
II 6r - 6s = 0
II -6r+6s = 0

Ich addiere II und II

I 3r + 6s = 6I
II + II 0 = 0

Da 0 = 0 herauskommt, kann ich eine Variable frei wählen. Ich setze also r = 1 und komme automatisch auf s = 1. Doch wenn ich diese Werte in alle drei Anfangsformel einsetze, treten Widersrüche auf. Das deutet darauf hin, dass sich die Geraden nicht schneiden. Doch ich weiß, dass sie sich schneiden. Was mache ich falsch?

Vielen Dank
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittpunkt zweier Geraden
Aus Gleichung 2 kann man ersehen, dass r=s ist.

Einsetzen von r=s in Gleichung 1 sollte zum Ergebnis führen.

r=s=1 ist jedenfalls falsch.
geraden Auf diesen Beitrag antworten »

das ist mir auch schon aufgefallen. Doch warum funktioniert meine Variante nicht? Ich komme auf 0 = 0 und darf doch eigentlich einer Variable frei einen Wert zuweisen. Was wäre, wenn nicht so offensichtlich wäre, dass s = r ist?

Was ist bei mir falsch?

Danke
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn auf die Idee, dass du, sobald du 0=0 erhälst eine Unbekannte frei wählen darfst?
geraden Auf diesen Beitrag antworten »

so hatten wir es immer bei den gauß alogrithmen. wenn irgendwo 0 = 0 herauskommt, können wir eine Variable nach Belieben setzten. Das hat auch immer funktioniert. Das bedeutet das ja gerade.

Wie soll ich sonst mit 0 = 0 hier umgehen?

danke
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast drei Gleichungen und zwei Unbekannte, also ein überbestimmtes LGS, zwei Gleichungen reichen aus, um s und r zu bestimmen, mit der dritten Gleichung muss man sein Ergebnis überprüfen.

Was richtig ist ist, dass, wenn man mit Gauß eine Nullzeile erzeugt, eine Variable frei wählbar ist, jedenfalls wenn das LGS nicht überbestimmt ist, wenn also der Rang der Matrix nicht maximal ist.

Hier haben wir aber folgende erweiterte Matrix:

, die Koeffizientenmatrix hat also den Rang 2, deshalb wird bei Umformungen immer eine Nullzeile zu erzeugen sein.
 
 
geraden Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Was richtig ist ist, dass, wenn man mit Gauß eine Nullzeile erzeugt, eine Variable frei wählbar ist


Genau das habe ich gemacht. Ich habe r = 1 gesetzt. Dass zwei Gleichungen ausreichen habe ich verstanden. Danke!

Doch das ja gerade das Problem. Wenn ich die Dritte zur Überprüfung heranziehe, kommt ein Widerspruch, der auf windschiefe Geraden deutet. Sie schneiden sich aber.

Mir ist mein Fehler leider immer noch nicht klar. Kannst Du diesen mal ganz explizit nennen?

Danke
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich vielleicht ein wenig ungenau ausgedrückt, wenn du mehr Zeilen als Spalten hast wirst du in der Matrix zwangsläufig eine Nullzeile erzeugen.

Dass man eine Unbekannte frei wählt ist dann der Fall, wenn man mehr Spalten hat als Zeilen oder wenn man Nullzeilen erzeugt in einer Matrix, die genau so viele Zeilen hat wie Spalten.

Wie gesagt, du hast zwei Unbekannte aber drei Gleichungen, zwei Gleichungen reichen aus, um r und s zu bestimmen, die dritte dient der Kontrolle, 0=0 ist immer richtig.
geraden Auf diesen Beitrag antworten »

häää? Aber das mache ich doch! Ich nutze doch die driite Gleichung zur Überprüfung.

Ok, jetzt habe ich hier 0 = 0 stehen. Wie komme ich jetzt auf r und s?

danke
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir mal die erweiterte Matrix an:



Du wirst in der letzten Zeile eine Nullzeile erzeugen, wenn du Gauß anwendest, was einfach daran liegt, dass du mehr Zeilen hast als Spalten, also die Zeilenvektoren linear abhängig sein müssen.

Allerdings wird sie dir auch eine Lösung für r und s geben, dazu betrachtest du die erste und die zweite Zeile der Matrix.

0=0 ist immer richtig, bringt dich aber nicht weiter.
geraden Auf diesen Beitrag antworten »

bei allen gauß algorithmen konnte ich aber dann immer eine Variable frei wählen? was ist jetzt so anders, dass es nicht geht?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Liest du eigentlich, was ich schreibe?

Zwei Variablen, drei Gleichungen, Rang der Matrix ist 2, sie hat aber drei Spalten.

Schau dir die obige Matrix einfach mal an und wende Gauß an.

Dann überlege, ob du tatsächlich eine Unbekannte frei wählen darfst.

Und noch etwas, wenn du bei einer quadratischen Matrix eine Nullzeile erzeugst liefert dir das lediglich eine Lösung von unendlich vielen, wenn du eine Unbekannte frei wählst, also sollte man parametrisieren, um alle Lösungen zu erhalten, das aber nur am Rande.

Und dann kannst du dir ja mal überlegen, warum zwei Geraden die nicht identisch sind höchstens einen Schnittpunkt haben, wenn du eine Unbekannte beliebig wählen dürftest gäbe es unendlich viele Schnittpunkte.
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