Bild und Urbild als Abbildungen von Potenzmengen nach Potenzmengen

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ArnoldW Auf diesen Beitrag antworten »
Bild und Urbild als Abbildungen von Potenzmengen nach Potenzmengen
Sei

eine Abbildung.

Und seien


die Potenzmengen von X und Y.

Die Bildabbildung f ist eine Abbildung


Die Urbildabbildung

ist eine Abbildung.
.

Aufgrund der gleichen Schreibweise kann es zu oft zu Verwechselungen mit der inversen Abbildung kommen. Dieser Unterschied sollte jedem bewußt sein.

Noch eine Bemerkung:
Man kann eine Funktion

so konstruieren

so dass jedem

sein Singleton (einelementige Menge) zugeordnet sei.

Man kann zeigen, dass s injektiv ist und nicht surjektiv.
Das erstaunliche ist nun, dass aufgrunddessen die Menge X als Teilmenge seiner Potenzmenge aufgefasst werden kann. Man spricht von der sogenannten Einbettung in

,
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Schön. Und was sollen wir jetzt damit machen? verwirrt
ArnoldW Auf diesen Beitrag antworten »
Pardon!
Meine Frage:
Welche Eigenschaften haben Bild- und Urbildabbildungen?
Was kann ich zur Injektivität und Surjektivität sagen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann stell die Frage doch bitte demnächst direkt in deinem ersten Post.

Außerdem hat das wohl nichts mehr mit Schulmathematik zu tun, achte bitte demnächst auch darauf, dass du im richtigen Forum postest.

Verschoben in die Hochschulmathematik.
ArnoldW Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzmengen von Potenzmengen
Wenn ich die Bildabbildung untersuchen will, muß ich Potenzmengen von Potenzmengen betrachten.

Was sind zum Beispiel solche Objekte {{x,y,z}, {x}}, {{x}} (Ineinandergeschachteltete Schachteln)?

Ich würde mich über einen Hinweis sehr freuen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst nicht Potenzmengen von Potenzmengen betrachten, du betrachtest die Potenzmenge der Menge X.

Die Potenzmenge einer Menge X enthält alle Teilmengen von X. Nimm dir als einfaches Beispiel mal die Menge , dann wäre , also die Menge, die die 1 enthält, eine Teilmenge unserer Menge , sie wäre also ein Element der Potenzmenge von . Genauso wären Teilmengen der Menge und damit Elemente der Potenzmenge von . Weiter sind dann auch noch sämtliche Kombinationsmöglichkeiten der Form etc. Teilmengen von und damit in der Potenzmenge enthalten.

Kommst du damit weiter?
 
 
ArnoldW Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal:
Gegeben sei eine Abbildung f von X nach Y.
X sei der Definitionsbereich
Y sei der Wertevorrat.

Meine Fragen lauten:
  1. Ist die "Zuordnung Bild(f) oder Imf(A)", die jeder Teilmenge A von X das Bild f(A) (Teilmenge von Y) zuordnet, eine Abbildung?
  2. Wenn ja, ist diese Abbildung injektiv?

(Die leere Menge wird dabei auf die leere Menge abgebildet!!)
Diese Abbildung



bildet Teilmengen auf einander ab.

Um die die Injektivität nachzuweisen, müßten wir zeigen:

oder
.

Und das ist doch genau dann der Fall, wenn f selbst injektiv ist?
Beachte bitte dass es sich hier um Mengen handelt!
ArnoldW Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Bezeichnungen geändert damit man genau Im_f von f unterscheiden kann.

Zitat:
Original von ArnoldW
Nochmal:
Gegeben sei eine Abbildung f von X nach Y.
X sei der Definitionsbereich
Y sei der Wertevorrat.

Meine Fragen lauten:
  1. Ist die "Zuordnung Bild(f) oder Imf(A)", die jeder Teilmenge A von X das Bild f(A) (Teilmenge von Y) zuordnet, eine Abbildung?
  2. Wenn ja, ist diese Abbildung injektiv?

(Die leere Menge wird dabei auf die leere Menge abgebildet!!)
Diese Abbildung



bildet Teilmengen auf einander ab.

Um die die Injektivität nachzuweisen, müßten wir zeigen:

oder
.

Und das ist doch genau dann der Fall, wenn f selbst injektiv ist?
Beachte bitte dass es sich hier um Mengen handelt!
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wir haben also eine Abbildung und betrachten nun . Zuerst einmal: ist das eine wohldefinierte Abbildung? Hast du das schon gezeigt?

Danach wenden wir uns der Injektivität zu, schreib dir mal für ein paar einfach gestrickte Abbildungen mit einfach aufgebauten Mengen diese Abbildung auf, vielleicht lässt sich ja ein leichtes Gegenbeispiel für die Injektivität finden.
ArnoldW Auf diesen Beitrag antworten »

Im_f ist wohldefiniert. Das folgt aus der Bilddefinition von Abbildungen.

Ein Gegenbeispiel zur Injektivität ist die konstante Abbildung. Also Y={y} (Singleton).

Meine Vermutung ist, dass Im_f genau dann injektiv ist, wenn f es ist?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Vermutung ist dazu da, sie zu beweisen. Augenzwinkern
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