Substitution

04.02.2011, 14:34	Wambo	Auf diesen Beitrag antworten »
Substitution Meine Frage: Hallo liebes Forum, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe $\begin{eqnarray} \int \! (x+2)/\sqrt{4x-x^2} \, dx \end{eqnarray}$ ich weiß nicht was davon ich substituieren muss, dabei mir jedes mal irgendwo ein x übrig bleibt. Meine Ideen:* Ich habe auch schon in mein schlaues Buch geschaut, und habe festgestellt, dass es dieser Formel ähnlich sieht: $\begin{eqnarray} \int \! f'(x)/f(x) \, dx = \int \! ln \| f(x) \| + C \, dx \end{eqnarray}$ Ich hoffe Ihr könnt mir nen Tipp geben, wie ich weiter zu verfahren habe.
04.02.2011, 15:59	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution Vorschlag: $\begin{eqnarray} \int \frac{x+2}{\sqrt{4x-x^2}} \, \dx = - \frac{1}{2} \int \frac{4-2x-8}{\sqrt{4x-x^2}} \, \dx = - \frac{1}{2} \int \frac{4-2x}{\sqrt{4x-x^2}} \, \dx + 4 \int \frac{1}{\sqrt{4x-x^2}} \, \dx \end{eqnarray}$ Das erste Integral ist einfach zu lösen mit einer passenden Substitution. Das zweite Integral ist immer noch etwas unangenehmer. Aber mit einer quadratischen Ergänzung und dann einer passenden linearen Substitution sollte man das auf den arcsin als Stammfunktion zurückführen können, wenn ich das richtig sehe. Vielleicht geht's auch einfacher, wer weiß. Aber so einen Supertrick, der aus dem Ganzen einen Einzeiler machen würde, sehe ich hier jetzt so auf Anhieb nicht.
04.02.2011, 19:46	cHilLz0Ne	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ könnte man auch in der Wurzel eine Quadratische Ergänzng durchführen und mit x-2= 2sin(t) substituieren. $\begin{eqnarray} \int \! \frac{x+2}{\sqrt{4x-x^{2} } } \, dx =\int \! \frac{x+2}{\sqrt{4-4+4x-x^{2} } } \, dx=\int \! \frac{x+2}{\sqrt{4-(x^{2}-4x+4) } } \, dx=\int \! \frac{x+2}{\sqrt{4-(x-2)^2 } } \, dx \end{eqnarray}$ Wenn du jetzt mit x-2=2sin(t) bzw. x= 2sin(t)-2 substituierst, kannst du die Wurzel auflösen und sehr leicht das Integral bilden. lg

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »