Konvergenzradius!

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Keinplan! Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius!
Komme bei einer Aufgabe nicht so richtig weiter.
Die Frage die sich mir da stellt, ist mir fast ein bisschen peinlich.
Naja Mathe ist halt mein Problemfach.

Summe von Null bis unendlich


Ich benutze das Quotientenkriterium an+1 / an
setze +1 ein .
Habe im Nenner eine Binomische Formel im Exponenten.

Im Nenner kann ich die n^2 ausklammern :


Der Klammerausdruck steht im Exponenten.

Laut der Grenzwertsätze läuft 2/n gegn 0 und 1/n^2 gegen 0
Als Grenzwert bleibt dann 1 stehen.
Die 2^n^2 im Nenner kürz ich mit der 2^n^2 im Zähler.

bleibt also stehen:



denn die 2 wird mit dem Exponenten 1 potenziert.
Denn die Basis bleibt vom Kürzen bestehen.?
Aber laut der Grenzwertsätze hab ich 1 als Grenzwert.
Kann das sein oder ist das Blödsinn?
Ich frage mich ob da jetzt die 2 im Nenner steht oder nicht.



p.s.Ich weiss ich bin mit der Aufgabe noch nicht fertig.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm... Der n-te Summand ist also .

Wir teilen und erhalten .

Du hast den Fehler gemacht, den Grenzwert zu zerlegen, was hier nicht funktioniert (weil der Gesamtgrenzwert die Form "oo/oo" hat):
.

Gruss,
SirJective
Keinplan! Auf diesen Beitrag antworten »

Achso
also muss ich anfangs ersteinmal den Grenzwert des gesamten Ausdrucks ermitteln.
In dem Fall 00/00 geht Richtung unendlich also divergent.

Was hab ich denn da für ein Konvergenzradius?

x=I 1 I ?
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SirJective
Hmm... Der n-te Summand ist also .

Wir [...] erhalten .


Für welche x konvergiert dieser Ausdruck gegen einen Wert kleiner 1, wenn wir n gegen Unendlich gehen lassen?
Keinplan! Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke -1
denn -1/00 ist Nullfolge und konvergent
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Und was sagst du zu 204657/(2^{2n+1})? Augenzwinkern *dich mal in die richtige Richtung schieb*
 
 
Keinplan! Auf diesen Beitrag antworten »

Der Nenner läuft gegen unendlich.
Der Zähler ist konstant.

aber 200nochwas ist ja nicht kleiner 1 aber 1 ist ja auch nit kleiner sondern gleich.

traurig
ich weiss nicht mehr weiter
Keinplan! Auf diesen Beitrag antworten »

nach l´Hospital ist

c/00 ist der Grenzwert 0
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Ich geb dir mal den Denk-Weg vor:

Ist 204657/(2^{2n+1}) eine Nullfolge?
(l'Hospital funktioniert hier nicht, weil du keine Funktion hast)
Konvergiert die Reihe für x=204657?
Was passiert nun, wenn du das x grösser wählst?
Was kannst du daraus für den Konvergenzradius folgern?
Keinplan! Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit l´Hospital wusste ich nicht.
Wiedermal was gelernt!

Ich hab nochmal nachgedacht.


Der Konvergenzradius ist +- 00
] -00 ; 00 [

Denn egal welche Zahl ich für x einsetze, der Nenner läuft gegen unendlich und somit ist er grösser als der Zähler.
Stmmit das?
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Gut gemacht so!!! smile
Keinplan! Auf diesen Beitrag antworten »

Muss nochmal was nachfragen.

Beim Konvergenzradius untersuche ich also für welche Zahlen x konvergiert.

Dazu muss ich erstmal x isolieren und n gegen unendlich laufen lassen.

1.Ist der limes 0 dann kann ich für x alle Zahlen aus R einsetzen und die Reihe konvergiert.

2.Ist der limes z.B. 1 oder eine andere Zahl, untersuche ich die Randwerte und versuche anhand der Kriterien, Leibniz, Majoranten, Harmonische Reihe zu untersuchen ob die Reihe konvergent oder divergent ist.

3.Was ist wenn n gegen unendlich läuft und keinen limes annimmt?
konvergiert x dann nicht?

Ich hab auch noch etwas von einer anderen Methode gehört, die es angeblich neben dem Quotientenkriterium gibt, soll wohl eine Formel sein.Kann mir da einer weiterhelfen?

Danke!
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal zur Sprechweise: Nciht x konvergiert, sondern die unendliche Reihe konvergiert oder divergiert, in Abhängigkeit von x.

Eine weitere Rechenmethode, die sich aus dem Wurzelkriterium ergibt, ist die Formel von Cauchy und Hadamard, zu finden zum Beispiel hier.
Keinplan! Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst Du mir das an dem folgenden Beispiel verdeutlichen:





von 1 bis unendlich
Keinplan! Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Quotientenkriterium würde ich wie folgt verfahren:





Konvergenzradius

1 und -1 wären die Randpunkte.

Untersuchung der Randpunkte:

x=-1



wäre nach Leibniz konvergent

für x=1

wäre es nach Majorantenkriterium konvergent
Keinplan! Auf diesen Beitrag antworten »

Wie geht die Aufgabe mit der Cauchy Formel?
Weiss das einer.?
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Keinplan!
Kannst Du mir das an dem folgenden Beispiel verdeutlichen:



Der n-te Koeffizient a_n ist:
.

Die Cauchy-Hadamard-Formel sagt über den Konvergenzradius r:


Berechnen wir also
.

Damit ist r=1, wie du bereits mit dem Quotientenkriterium bestimmt hast (was hier leichter anwendbar ist).
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