Stetigkeit

04.02.2011, 16:17

Mathefan1989

Stetigkeit

Hilfe!
Mehr kann ich nicht sagen. Sobald sowas hier kommt, bin ich aufgeschmissen.
Also wenn sich jemand meinem Problem annehmen würde, wäre ich dankbar.

i) Untersuchen Sie, in welchen Punkten die Funktion
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ->\mathbb R, f(x)=\left\{\begin{matrix} x, & x\in Q,\\ 1-x, & sonst, \end{matrix}\right. \end{eqnarray*}$
stetig ist.

ii) Untersuchen Sie, für welche Wahl von $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ die Funktion
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ->\mathbb C, f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}+a, & x\leq 1,\\ bix+1, & sonst, \end{matrix}\right. \end{eqnarray*}$
stetig ist.

04.02.2011, 17:27

ThomasL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit
zu i): Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig in einem Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Betrachten wir nun eine Folge von rationalen Zahlen, die gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert, und eine zweite Folge von irrationalen Zahlen, die auch gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert. Dann folgt daraus etwas über $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

ii) es ist nur die Stetigkeit im Punkt 1 zu prüfen (warum?), dh die beiden einseitigen Grenzwerte müssen dort übereinstimmen...

04.02.2011, 17:27

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu i) Anschaulich gesehen springt die Funktion doch ständig zwischen x und 1-x. D.h. sie kann nur da stetig sein, wo $\begin{eqnarray*} x=1-x \end{eqnarray*}$ gilt.

Bestimme dadurch das x. Das so erhaltene Resultat muss aber noch formal bewiesen werden.

04.02.2011, 19:22

Gast898

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Resultat für x bei i) ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .
Wie soll man nun jetzt zeigen, dass es an dieser Stelle stetig ist? Denn hier haben wir nicht nur eine Vorgabe der Funktion sozusagen, sondern zwei.
Und bei ii) soll man dann auch gleichsetzen? Hab das versucht, nur nichts rausbekommen.
Hoffe auf ein paar Anweisungen Augenzwinkern

05.02.2011, 11:53

ThomasL

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Gast898
Das Resultat für x bei i) ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .
Wie soll man nun jetzt zeigen, dass es an dieser Stelle stetig ist? Denn hier haben wir nicht nur eine Vorgabe der Funktion sozusagen, sondern zwei.

Ist ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gegeben, so müssen wir ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ finden so, dass aus $\begin{eqnarray*} |x-\frac{1}{2}|<\delta \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(\frac{1}{2})|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ . Das kann man mit einer Fallunterscheidung machen.

Zitat:

Und bei ii) soll man dann auch gleichsetzen? Hab das versucht, nur nichts rausbekommen.

Wie oben gesagt - die beiden einseitigen Grenzwerte im Punkt 1 betrachten. Was genau verstehst du nicht?

05.02.2011, 12:41

Gast898

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz ruhig. Hab jetzt die Antworten auf meine Fragen bekommen. Vielen Dank.

05.02.2011, 13:22

DerBär

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man das ganze dann mit der lipschitz-bedingung lösen? man bekommt im ersten fall f(x)=1-x und im zweiten fall f(x)=x dann die Konstante 1. wenn ja weiß ich nicht wie ich ein ´ angebe.

Neue Frage »

Antworten »

Stetigkeit

Verwandte Themen