Konvergenzradius der Potenzreihe - Blockade

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Kretos Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius der Potenzreihe - Blockade
Hi Leute.

habe folgende Potenzreihe und suche den Konvergenzradius:



Jetzt habe ich das Quotientenkriterium anwenden wollen und bin über Umformungen (Exponent im Zähler in 2 Exponenten aufteilen, sodass Zähler und Nenner den gleichen Exponenten bekommen, sodass ich diesen rausziehen kann) an folgende Form gekommen:



Sieht kompliziert aus, ist es nämlich auch ^^ Hab ich zumindest das Gefühl.

Stehe auf dem Schlauch, komme ab hier einfach nicht weiter.
Hat jmd einen Tipp?
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Möchtest du den Konvergenzradius bestimmen oder nur die Konvergenz dieser Potenzreihe zeigen?

Zum Bestimmen des Konvergenzradius´ mußt du folgendes ausrechnen:

wobei


Ibn Batuta
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

hey,

ich habe gerade auch versucht, diese aufgabe zu lösen, und bin bei der selben umformung wie kretos(lediglich zähler und nenner vertauscht), also



diverse online tools haben mir verraten, dass der obige ausdruck gegen konvergiert, doch wie man nun weiter umformen kann, um darauf zu kommen, ist mir ein rätsel.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Formel von Cauchy-Hadamard (landläufig auch Wurzelkriterium für Potenzreihen genannt) ist der Weg hier weit weniger steinig als bei der Quotientenbetrachtung.
leithian Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

es gilt: Ist xn eine Nullfolge ungleich 0, dann ist lim (1+xn)^1/xn =e.

n-te Wurzel in der Formel für Konvergenzradien gibt (n-1)! im Exponenten und die Beh folgt.

mfg
Kretos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ibn Batuta
Möchtest du den Konvergenzradius bestimmen oder nur die Konvergenz dieser Potenzreihe zeigen?

Zum Bestimmen des Konvergenzradius´ mußt du folgendes ausrechnen:

wobei


Ibn Batuta


Ja ok, ob ich die Quotienten direkt umdrehe oder am Ende den Kehrwert nehme, ist ja relativ egal. (Oder Augenzwinkern ? )
Im Prinzip hast du also nur das Problem von hkny und mir wiederholt Augenzwinkern !

Zitat:
Original von HAL 9000
Mit der Formel von Cauchy-Hadamard (landläufig auch Wurzelkriterium für Potenzreihen genannt) ist der Weg hier weit weniger steinig als bei der Quotientenbetrachtung.


Stimmt, damit hab ich es auch hingekriegt smile !
Für hnky:
Cauchy- Hadamard, Satz von Hadamard, Wurzelkriterium für Potenzreihen, wie auch immer man es nennt ^^ besagt:



Von da aus kommst du mit nur einer Umformung zum Ziel (unglaublich, dass so ne Aufgabe in der Trainingsklausur ist?!?!):


Von hier über die Aussage von leithian (uns auch bekannt, da bereits bewiesen) zu:


Noch eine Zusatzfrage (ist aber nicht direkt verlangt):
Der Konvergenzradius ist demnach , korrekt? Das heißt, die Potenzreihe konvergiert absolut(?) für alle x in einem Kreis mit dem Mittelpunkt 0 und dem Radius und divergiert ausserhalb dieses Kreises?
 
 
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das wurzelkriterium ist hierfür doch deutlich besser geeignet.

dass uns die aussage von leithian bereits bekannt ist, war mir noch nicht klar - kannst du mir verraten, wo wir das bewiesen haben? (vielleicht hab ich ja etwas verpasst smile )

Zitat:
Noch eine Zusatzfrage (ist aber nicht direkt verlangt):
Der Konvergenzradius ist demnach , korrekt? Das heißt, die Potenzreihe konvergiert absolut(?) für alle x in einem Kreis mit dem Mittelpunkt 0 und dem Radius und divergiert ausserhalb dieses Kreises?


ja, so habe ich es auch verstanden.innerhalb des konvergenzkreises, also (was in unserem fall ja lediglich ein intervall ist) haben wir absolute konvergenz, außerhalb divergenz.

beim verhalten auf dem rand bin ich mir momentan nicht sicher.


zur trainingsklausur:

ja, ich finde die trainingsklausur auch relativ einfach(auch wenn ich noch ein problem mit dem restglied bei der taylorformel hatte), und diese aufgabe ist, wenn man erkennt, dass hier das wurzelkriterium angebracht ist, auch relativ einfach. wenn man aber das quotientenkriterium benutzt, so wie wir es gemacht haben, steht man schon etwas blöd da smile

übrigens: die aufgabe mit der rekursiv definierten folge ist mit dem hinweis auch sehr schnell innerhalb von 5 min gemacht, da bereits monotonie & beschränktheit im hinweis angegeben ist(und somit auch schon der grenzwert).

ich bezweifel aber, dass das in der richtigen klausur auch so einfach sein wird smile
leithian Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

selbst wenn man die Aussage nicht kennt ist es ganz gut
sich klar zu machen, dass man den Grenzwert in diesem Fall
auch einfach sieht, indem man die Nullfolge als von den Fakultäten erzeugte
Teilfolge von 1/n erkennt.

mfg
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kretos
Ja ok, ob ich die Quotienten direkt umdrehe oder am Ende den Kehrwert nehme, ist ja relativ egal. (Oder Augenzwinkern ? )
Im Prinzip hast du also nur das Problem von hkny und mir wiederholt Augenzwinkern !


Das habe ich nicht.


Ibn Batuta
Kretos Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Hilfe smile

@hnky:
Wo wir das bewiesen haben weiß ich nicht mehr, aber wir haben es auf jeden Fall auf Blatt 8 Aufgabe 12.1 genutzt.

Oder zumindest tat dies unser Tutor Big Laugh
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht mit meinem Tipp ebenfalls sehr einfach.







Ibn Batuta
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ibn Batuta

Dieser Teil der Argumentation ist unsauber. Mit der gleichen "Technik" könnte man aufgrund von folgern

,

statt des tatsächlichen Ergebnisses .


Bevor du jetzt sagst "Das ist was anderes", geh mal deine Argumentation Schritt für Schritt durch. Augenzwinkern
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Du unterstellst mir einen Unsinn, den ich so nie behauptet habe. Außerdem hast du glaube ich meine Argumentation nicht verstanden. Ich zeige dir mal den Grenzwert für dein Beispiel. Augenzwinkern



Capiche?


Ibn Batuta
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ibn Batuta
Capiche?

Ziemlich hochnäsig. Dein Beispiel mit dem konstanten (d.h. von n unabhängigen) Exponenten 2 entkräftet den berechtigten Einwand von HAL9000 in keinster Weise. unglücklich
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von René Gruber
Zitat:
Original von Ibn Batuta
Capiche?

Ziemlich hochnäsig. Dein Beispiel mit dem konstanten (d.h. von n unabhängigen) Exponenten 2 entkräftet den berechtigten Einwand von HAL9000 in keinster Weise. unglücklich


Sollte nicht so rüberkommen. Wo liegt genau der Haken bei der Argumentation?


Ibn Batuta
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich richtig sehe - und dahingehend bezieht sich wohl auch der Einwand von HAL9000 - argumentierst du auf der Grundlage von dann einfach



Das mag für deine beiden Folgen zufällig mal gelten, aber wie das Beispiel von HAL9000 zeigt, ist das mit dieser eben genannten Argumentation nicht möglich. Aber vielleicht hast du ja oben noch etwas ganz anderes einbezogen, was aber in der Gleichungskette nicht gerade sehr deutlich herauskommt. verwirrt
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetzt verstehe ich den Einwand.

Meine Argumentation ist aber folgende. (Ich betrachte Zähler und Nenner für sich alleine!)

Zähler:


Nenner:


Nun gehe ich her und sage:




Ibn Batuta
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht ja nun erst recht nicht, denn dann hast du sowas wie , das ist durch keine Grenzwertregeln gedeckt. unglücklich
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Das war auch totaler Mist.

Die einzige Möglichkeit, die ich noch sehe, um meine Argumentation zu retten wäre folgende. Wenn das nicht funktioniert, entschuldige ich mich und editiere meine Beiträge in diesem Thread wegen Müll. Augenzwinkern






Ibn Batuta
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