Determinante einer 5x5 Matrix

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chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante einer 5x5 Matrix
Meine Frage:
Hallo,

ich habe viel über der Determinante von 5x5 Matrizen gelesen, aber wenig verstanden. Auch in diesem Forum.

ich habe eine 5x5 Matrix gegeben:



Meine Ideen:
Was heißt detB=detA? Heißt das, dass ich durch addieren/subtrahieren von Spalten bzw. Zeilen manche Spalten/Zeilen weg bekommen kann?

Ich habe mal nach der Formel von nxn Matrizen angefangen die det zu rechnen. Wie jeder schon weiß kommen da nun lauter 4x4 Matrizen raus. Muss ich hier zwingend so weiter rechnen oder gibt es da einen Trick?
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich vielleicht die Determinante von der Transponierten Matrix berechnen, weil da unter dem Dreieck viele nullen sind und dann mit Gauß??
 
 
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Hab jetzt das hier raus bekommen:



hab das Produkt der Hauptdiagonale berechnet und komme auf

4a² - 8a

Kann das stimmen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst die Matrix eigentlich gar nicht auf Dreiecksform bringen, denn in der Ausgangsmatrix sind schon genügend Nullen vorhanden, so dass man hier direkt dreimal nach der entsprechenden Zeile bzw Spalte entwickeln kann (La-Place-Entwicklung) und dann steht es schon da.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

sry ich weiß nicht was du meinst mit dreimal nach entsprechender Zeile/Spalte entwickeln.

Kann ich willkürlich Spalten gegen Spalten und Zeilen gegen Zeilen vertauschen, damit ich mit gauß rechnen gut kann?

Ist eigentlich meine determinante von der Transponierten Richtig?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt det(A)=det(A^T), also kannst du das natürlich tun mit dem Transponieren.
Wenn du dann mit Gauß weiter umformst, musst du halt sowas hier beachten:

http://de.wikipedia.org/wiki/Determinant...antenberechnung

Am Einfachsten geht es halt durch die La-Place-Entwicklung, für welche diese gegebene Matrix gerade zu ein Paradeanwendungsbeispiel ist.
Wenn ihr das noch nicht hattet, musst du wohl den anderen Weg gehen.

Der 1. Schritt mit LaPlace (Entwicklung nach letzter Zeile) wäre:



Und in dieser Matrix könnte man wiederum direkt entwickeln...
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Heyy cool danke!

Hab jetzt für die 4x4 matrix -2a-4 raus bekommen.
Und noch mit -2 multiplizieren ergibt (4a+8)

stimmt das?

Was hat eigentlich das -1 zu bedeuten? ist das nur für die zeilen und spalten?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was hat eigentlich das -1 zu bedeuten? ist das nur für die zeilen und spalten?


Die Potenz mit der Basis -1 richtet sich immer nach der Position des jeweiligen Eintrags in der Matrix, wo sich Zeile und Spalte kreuzen.
Und genau das vergisst du glaube ich beim weiteren Entwickeln.
Da müsste also nochmal ein ungerader Exponent entstehen, welcher die (-1)-Potenz negativ werden lässt.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt ich muss mit ganz normal rechnen. = 1
und in der 4x4 matrix muss ich mit ganz normal weiter rechnen. = -1

Wenn ja, dann ergibt das (-4a-8) Richtig?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau Freude
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir Bjoern1982

Hab da noch ein aufgabe

Ich soll die Determinante dieser 4x4 Matrix berechnen, einmal
(1)"durch entwicklung nach der dritten Spalte"
und einmal (2) "durch zeilenumformungen auf dreiecksgestalt bring"

habe zur (1) detM=
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

OMG hab oben vergessen die Matrix einzufügen Hammer

Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

In welcher Zeile und Spalte steht denn die 1 der 3. Spalte ? Augenzwinkern
Ansonsten stimmts aber.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

in der zweiten Zeile und dritten spalte?!
Was willst du damit sagen? verwirrt
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Damit sollte vor deinem Term dann doch noch als Faktor stehen, welcher dann noch Einfluss auf die Vorzeichen hat.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Ohh ok, ich weiß viell was du meinst

-6a² + 20a - 6 ??
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du viell noch einen link für mich über zeilenumformung?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm naja hier wär noch ein Beispiel:

http://books.google.de/books?id=NIi249Kc...eispiel&f=false

Ansonsten kannst du ja einfach mal rumprobieren, das richtige Ergebnis kennst du ja nun smile
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab das schon mal mit einer 3x3 matrix gemacht. Geht das genau so mit 4x4 matrix?

Habe da zwei Zeilen vertauscht und daraus dann die det ausgerechnet und dann mit (-1) multipliziert.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Habe da zwei Zeilen vertauscht und daraus dann die det ausgerechnet und dann mit (-1) multipliziert.


Doch nicht so^^
Nach dem zeilentausch habe mit gauß die det gerechnet
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ob du jetzt eine 3x3 Matrix oder eine 4x4 Matrix auf Dreiecksform bringst läuft auf dasselbe hinaus.
Mit dem Vertauschen der Zeilen, das stimmt schon soweit - dadurch kehrt sich das Vorzeichen der Determinante um.

Wie gesagt, probiers doch mal aus smile
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Da kommen echt komische zahlen raus: ich hab da ein polynom dritten grades
habe die zweite und die dritte zeile vertauscht. ist das sinnvoll?
verwirrt
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ich würd erstmal gucken, dass ich Zeilen (und Spalten) so verschiebe, dass die 3 Nuller in Spalte 3 entweder links oder rechts in der Ecke schön untereinader stehen, so dass man diesen Teil der Dreiecksform schonmal erledigt hat.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

muss man zeilen vertauschen? warum?

Dreht sich das vorzeichen immer nach einem tausch um? d.h wenn ich eine zeile vertausche und zwei spalten ist das vorzeichen -1 ??
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Mann MUSS nicht aber es würde sich halt anbieten die bereits vorhandenen Nullen schon an die richtige Position zu verschieben, damit man danach weniger Arbeit hat.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Nach umformung habe ich:


Nach gauß habe ich das.


wie bekomme ich -2-4a weg?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Durch
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

jezt bekomme ich aber für 14

Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Durch die Umformung entsteht

Deine Elemente in der Hauptdiagonalen lauten also:









Diese gilt es jetzt nur noch miteinander zu multiplizieren.
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Bjoern1982

Unter welcher Bedingung ist diese Matrix invertierbar? Wenn die determinante ungleich 0 ist?
Und gibts da noch welche Bedingungen?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chillerStudent
Unter welcher Bedingung ist diese Matrix invertierbar? Wenn die determinante ungleich 0 ist?
Und gibts da noch welche Bedingungen?
Nein, die Determinante ungleich 0 ist äquivalent zur invertierbarkeit
Broly Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich shclate mich auch mal ein habe die Gleiche Aufgabe.

Hab mal ne Frage der Determinante der 5x5 Matrix vom Anfang :



Ich dachte eigentlich mit La-Place kann man Spalte oder Zeile entwickeln? Hier geht es aber scheinbar nur über die Zeilen? Weiß man das vorher? Weil wollte eigentlich über die 3. Spalte dann komm ich aber auf:



das ergibt aber 0 und deckt sich nicht mit euren Ergebnissen =(
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Mann soll immer die Zeile oder Spalte wählen, wo die meisten NULLEN vorhanden sind, damit man nicht viel Rechnen muss. Das heißt, du kannst auch jede beliebige Zeile bzw Spalte nehmen.

Ich hab deswegen die fünfte Zeile genommen, weil ich da nur einmal die determinante von der 4x4 matrix ausrechnen muss.
Broly Auf diesen Beitrag antworten »

Ja mann kann mit vielen 0en nehmen muss aber nicht?
Also warum geht das hier nicht wo ist mein fehler?
chillerStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hast du wahrscheinlich einen Rechenfehler. Ich kenne deine Rechnung nicht.
Grufti Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Broly






Hi , die 4x4 Matrix musst du auch noch entwickeln.

Ich habe dann nach der 4ten Spalte entwickelt(Weil dort 3 Nullen sind)

-1 *

Das ergibt dann -8 - 4a und wäre somit richtig

Hoffe habe mich nicht vertan , ist schon spät
Broly Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, hab nun (fast) alles genauso wie ihr.

Nur bei der Zeilenumformung hänge ich etwas.
Ich komme auch auf:



aber den Gedankengang wie ihr die -2-4a wegbekommt verstehe ich nicht ganz.

und "Unter welcher Bedingung ist die Matrix M invertierbar?" da muss ich dann angeben das a != der Zahl ist das die det = 0 wird oder?

Grüße
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mal eine Frage, weil ich euch einfach nicht verstehe.



Wieso wird eigentlich nicht nach der letzten Zeile entwickelt?

Dann steht nur noch da:



Wieso wird jetzt nicht nach der letzten Spalte einfach entwickelt?



Wieso wird jetzt nicht nach der zweiten Spalte einfach entwickelt?




Also . Für ist die Matrix nicht invertierbar.

Das ist doch nicht so schwer.


Ibn Batuta
Broly Auf diesen Beitrag antworten »

Haben die anderen ja gemacht Augenzwinkern ich habs eben mal wieder "komplizierter" gemacht wie du gesehen hastAugenzwinkern

Aber geht jetzt gerade nicht um die Matrix sondern die andere =(

Grüße
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Welche "andere"? verwirrt


Ibn Batuta
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