Blätterung durch Cosh

04.02.2011, 20:12

Cordovan

Blätterung durch Cosh

Hallo!

Ich möchte gerne zeigen, dass die Ebene oberhalb des Einheits-Cosh,

$\begin{eqnarray*} E:=\{y>\cosh x\; |\; x>0\} \end{eqnarray*}$

außerhalb eines kompakten Gebiets $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ durch reskalierte Cosh-Funktionen $\begin{eqnarray*} C_\beta(x)=\beta\cosh\frac x\beta \end{eqnarray*}$ geblättert wird. Dabei ist natürlich $\begin{eqnarray*} 0<\beta<1 \end{eqnarray*}$ .

Ich habe mir überlegt (sofern die Aussage stimmt...?), dass ich die Schnittpunkte der einzelnen $\begin{eqnarray*} C_\beta \end{eqnarray*}$ innerhalb eines Kompaktums $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ einfange. Dass jeder Punkt von E durch eine dieser Funktionen getroffen wird, ist klar. Wenn es also keine weiteren Schnitte gibt, wäre die Aussage gezeigt.

Numerische Untersuchungen legen mir nahe, dass es ein $\begin{eqnarray*} x_{\text{max}}\approx 1.2 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass die x-Koordinaten aller anderen Schnittpunkte kleiner sind. Hat jemand eine Idee, wie ich das beweisen könnte?

Danke!
Cordovan

Edit: ich habe mal hochgeladen, wie ich mir das vorstelle. Das dick umrandete Gebiet soll geblättert werden.

05.02.2011, 11:42

Leopold

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Betrachten wir die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \cosh y = x \cosh \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ entspricht deinem $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Werte sind die Abszissen der Schnittpunkte der beiden Graphen. Aus Symmetriegründen genügt es, $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ zu betrachten.
Für $\begin{eqnarray*} x>0, x \neq 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dann eindeutig bestimmt. Wir können daher $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ als Funktion von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auffassen. Der Anschauung nach läßt sich die Funktion an den Stellen $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ stetig ergänzen, so daß man insgesamt eine für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ stetige streng monoton wachsende und für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} y = y(x) \end{eqnarray*}$ erhält. Offenbar ist $\begin{eqnarray*} y(0)=0 \end{eqnarray*}$ . Und du suchst nun $\begin{eqnarray*} y(1) = y_1 \end{eqnarray*}$ .

Bezeichnen wir die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit einem Strich, so führt implizites Differenzieren auf

$\begin{eqnarray*} y' \sinh y = \cosh \frac{y}{x} + \frac{xy' - y}{x} \sinh \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

Setzen wir $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ ein, so erhalten wir

$\begin{eqnarray*} y'(1) \cdot \sinh y_1 = \cosh y_1 + \left( y'(1) - y_1 \right) \cdot \sinh y_1 \ \ \Leftrightarrow \ \ y_1 \tanh y_1 = 1 \end{eqnarray*}$

Das gesuchte $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ ist also die Lösung einer transzendenten Gleichung. Etwa mit dem Newton-Verfahren findet man

$\begin{eqnarray*} y_1 = 1{,}19967864 \ldots \end{eqnarray*}$

05.02.2011, 11:48

Cordovan

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Wow, vielen Dank! smile

Implizite Differentiation führt also zum Ziel. Nur noch eine Rückfrage:

Zitat:

Der Anschauung nach läßt sich die Funktion an den Stellen $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ stetig ergänzen, so daß man insgesamt eine für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ stetige streng monoton wachsende und für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} y = y(x) \end{eqnarray*}$ erhält. Offenbar ist $\begin{eqnarray*} y(0)=0 \end{eqnarray*}$ .

An dieser Stelle bin ich mir unsicher. Wie kann ich diese Aussagen zeigen? Vor allem die Monotonie und die stetige Ergänzbarkeit?

Cordovan

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