Partialbruchzerlegung

04.02.2011, 20:32

cHilLz0Ne

Partialbruchzerlegung

Hallo Leute,

ich hab langsam soooo nen Hals >.<

Ich krieg es scheinbar nicht gebacken eine Partialbruchzerlegung durchzuführen.
Lustigerweise hab ich jedes mal was anderes raus.
Hier die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x^4+8x^3-x^2+2x+1}{(x^2+x)(x^3+1)} \, dx \end{eqnarray*}$
Dieses Integral soll berechnet werden. Da dachte ich eben zuerst mal an eine Partialbruchzerlegung.

Ich schreibe euch mal meine letzt Rechnung hin, vielleicht findet einer von euch meinen Fehler:

Ich habe zuerst alle Nullstellen gesucht:

$\begin{eqnarray*} x_{1}=0 x_{2}=-1 \end{eqnarray*}$

Von $\begin{eqnarray*} x^3+1 \end{eqnarray*}$ ist -1 eine Nullstelle, daher Polynomdivision. Dann erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x^4+8x^3-x^2+2x+1}{x(x+1)^2(x^2-x+1)} \, dx \end{eqnarray*}$

Jetzt fängt die eigentlich Partialbruchzerlegung an:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^4+8x^3-x^2+2x+1}{x(x+1)^2(x^2-x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x+1)^2}+\frac{Dx+E}{x^2-x+1} \end{eqnarray*}$

Mit dem Hauptnenner multipliziert:

$\begin{eqnarray*} x^4+8x^3-x^2+2x+1=A(x^2+2x+1)(x^2-x+1)+B(x^2+x)(x^2-x+1)+C(x^3-x^2+x)+(Dx+E)(x^3+2x^2+x) \end{eqnarray*}$

Und Umgeformt:

$\begin{eqnarray*} x^4+8x^3-x^2+2x+1=(A+B+D)x^4+(-A+C+2D+E)x^3+(-B-C+D+2E)x^2+(A+2B+C+E)x+A \end{eqnarray*}$

Koeffizientenvergleich:

$\begin{eqnarray*} A+B+D=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A+C+2D+E=8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -B-C+D+2E=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A+2B+C+E=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=1 \end{eqnarray*}$

Ich denke bis hier ist irgendwo ein Fehler, ich bekomme einfach nicht die richtige Gleichung raus.

Die einzelnen Werte für A,B,C,D,E hab ich hier 3x nachgerechnet, das dürfte stimmen.

Kann mir da vielleicht jemand helfen?

04.02.2011, 21:53

Ibn Batuta

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Zitat:

Von $\begin{eqnarray*} x^3+1 \end{eqnarray*}$ ist -1 eine Nullstelle, daher Polynomdivision. Dann erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x^4+8x^3-x^2+2x+1}{x(x+1)^2(x^2-x+1)} \, dx \end{eqnarray*}$

Das ist noch korrekt. Der Fehler kommt nämlich danach. Schau dir den Nenner mal genau an. Da taucht nirgends ein (x-1) auf, denn 1 ist auch keine Nullstelle.

Korrekt muss es so heißen:

$\begin{eqnarray*} \frac{Ax+B}{x^2-x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}+\frac{D}{x+1}+\frac{E}{x} \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

04.02.2011, 22:14

corvus

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Zitat:

Original von Ibn Batuta

Korrekt muss es so heißen:

$\begin{eqnarray*} \frac{Ax+B}{x^2-x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{x} \end{eqnarray*}$ Ibn Batuta

.................... Teufel

....B..... Teufel

............................... echt ?
.

04.02.2011, 22:24

Ibn Batuta

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Ah jetzt. Habe versehentlich nochmal B hingeschrieben. Habe es ausgebessert.

Ibn Batuta

05.02.2011, 13:17

cHilLz0Ne

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Danke schonmal.

Tut mir echt leid, das war nur ein Tippfehler.
So müsste, wie Ibn Batuta schohn geschrieben hat, heißen, und so stehts auch in meiner Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^4+8x^3-x^2+2x+1}{x(x+1)^2(x^2-x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}+\frac{Dx+E}{x^2-x+1} \end{eqnarray*}$

In meiner weiteren Rechnung habe ich auch mit x+1 weiter gerechnet. Zumindest denk ich das smile

Seht ihr noch irgendwo einen anderen Fehler?

05.02.2011, 22:50

corvus

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Zitat:

Original von cHilLz0Ne
so stehts auch in meiner Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^4+8x^3-x^2+2x+1}{x(x+1)^2(x^2-x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}+\frac{Dx+E}{x^2-x+1} \end{eqnarray*}$

Seht ihr noch irgendwo einen anderen Fehler?

der Ansatz ist ja richtig

aber, wie und ob du die Zahlenwerte 1,-2,3,2,0 irgendwo richtig gerechnet hast
kann man bei deinen Texten nicht sehen, also ist es insbesondere auch nicht möglich,
noch andere Fehler zu finden..

nebenbei:
wie sieht denn das Ergebnis deiner Integralberechnung aus?

.

06.02.2011, 15:25

cHilLz0Ne

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Sind die Werte, die du da angegeben hast, die Werte die für die Unbekannten Koeffizienten rauskommen müssen? Wenn ja, die hab ich nicht, aber dann mal immerhin Werte auf die ich irgendwie kommen muss Big Laugh

Das Integral hab ich noch nicht bestimmt, da ja schon die Partialbruchzerlegung nicht gestimmt hat.

Ich werde es einfach nochmal versuchen.

06.02.2011, 15:47

cHilLz0Ne

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Ich habe folgendes Gleichungssystem
$\begin{eqnarray*} A=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -A+C+2D+E=8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -C+D+2E=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A+D+C+E=2 \end{eqnarray*}$

Ich bekomme aber folgende Werte raus, welche nicht stimmen.
$\begin{eqnarray*} A=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B=\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C=-\frac{11}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D=-\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E=0 \end{eqnarray*}$

06.02.2011, 16:56

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von cHilLz0Ne
ich hab langsam soooo nen Hals >.<

$\begin{eqnarray*} \frac{x^4+8x^3-x^2+2x+1}{x(x+1)^2(x^2-x+1)} = \frac{Ax+B}{x^2-x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}+\frac{D}{x+1}+\frac{E}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^4+8x^3-x^2+2x+1 = (Ax+B)\cdot x\cdot (x+1)^2+C\cdot x\cdot(x^2-x+1)+D\cdot x\cdot (x+1)\cdot (x^2-x+1)+E\cdot (x+1)^2\cdot (x^2-x+1) \end{eqnarray*}$

Nun die rechte Seite geschickt nach $\begin{eqnarray*} A, B, C, D \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ umformen und einen Koeffizientenvergleich mit der linken Seite durchführen.

Danach sollte das gewünschte Ergebnis dastehen.

Ibn Batuta

07.02.2011, 20:15

cHilLz0Ne

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Ich hatte immer irgendwo kleine Fehler.

Nach dem gefühlten 400. Versuch hab ichs endlich hinbekommen.

Danke an euch für die Hilfe.

07.02.2011, 20:22

corvus

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Zitat:

Original von cHilLz0Ne

Nach dem gefühlten 400. Versuch hab ichs endlich hinbekommen.

.

.. aber:

1) welche Werte hast du nun für A;B;C;D;E?

2) wie sieht dann bei dir die gesuchte Stammfunktion aus?

......................

09.02.2011, 00:39

Dopap

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@corvus:
ich möcht auch latex lernen, hab´s gerechnet und komme auf:

$\begin{eqnarray*} - 2ln(x+1)+ln(x)+ \frac{2\sqrt{3} }{3}\cdot arctan(\frac{2\sqrt{3}x-\sqrt{3} }{3} ) + ln(x^2- x + 1)-\frac{3}{x+1} \end{eqnarray*}$

für eine Stammfkt.
wie kriegt man nach arctan große Klammern hin?

09.02.2011, 11:41

hi21

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ist das ergebnis eigentlich richtig?

09.02.2011, 15:26

corvus

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Zitat:

Original von hi21
ist das ergebnis eigentlich richtig?

mach doch ganz einfach selbst mal die Probe ...

smile

... wenn du ableitest, sollte am Schluss wieder dies herauskommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^4+8x^3-x^2+2x+1}{x(x+1)^2(x^2-x+1)} \end{eqnarray*}$

.

09.02.2011, 15:35

Mulder

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Zitat:

Original von Dopap
wie kriegt man nach arctan große Klammern hin?

So:

code:
1:	\arctan\left(\frac{2\sqrt{3}x-\sqrt{3} }{3} \right )

$\begin{eqnarray*} \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}x-\sqrt{3} }{3} \right ) \end{eqnarray*}$

Also einfach \left ( und \right ). Klappt so übrigens auch mit anderen Klammern, geschweifte, eckige, usw.

Tipp: Wikipedia: Hilfe: TeX

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