Stetigkeitsbeweis

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04.02.2011, 22:09	global	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeitsbeweis Hallo alle zusammen .Kann mir jemand Tipps für diese Aufgabe geben? Aufgabe lautet: Die Funktion g:\mathbb R\Z->\mathbb R sei gegeben durch g(x):=1/x+\sum\limits_{n=1}\infty . Dann ist g stetig auf \mathbb R \Z und dort 1-periodisch, d.h. es gilt g(x+1)=g(x) für alle x\in \mathbb R \Z.
04.02.2011, 22:34	global	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeitsbeweis Ich denke ,dass man zuerst Stetigkeit für g(x) nachweisen soll und dann beweisen, dass g(x+1)=g(x) in dem man,wie bei Induktion, x+1 einsetzt.
04.02.2011, 23:02	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Definition für g scheint unvollständig zu sein, ich lese da $\begin{eqnarray} g ~:~ \mathbb{R}\setminus \mathbb Z \to \mathbb R, ~ x\mapsto \frac 1 x + \sum_{n=1}^\infty \end{eqnarray}$ aber was wird da eigentlich aufsummiert?
04.02.2011, 23:08	global	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja sorry. $\begin{eqnarray} g ~:~ \mathbb{R}\setminus \mathbb Z \to \mathbb R,g(x)\mapsto \frac 1 x + \sum_{n=1}^\infty \end{eqnarray}$ (2*x/(x^2-n^2)).
04.02.2011, 23:33	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann zeige, dass die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \frac{2x}{x^2-n^2} \end{eqnarray}$ lokal gleichmäßig konvergiert. Daraus bekommst du die Stetigkeit. Für die Periodizität habe ich gerade keine besonders gute Idee auf Lager, es sei denn man weiß schon (oder man weist noch nach), dass dein $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ gerade die Funktion $\begin{eqnarray} x\mapsto \pi \cot (\pi x) \end{eqnarray}$ ist.
05.02.2011, 10:28	global	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hatten wir noch nicht...leider.
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07.02.2011, 16:12	ThomasL	Auf diesen Beitrag antworten »
falls die Aufgabe noch aktuell ist: ich hätte einen Vorschlag, wie man die Periodizität zeigen könnte. Wir haben also die Funktion $\begin{eqnarray} g(x)=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty \frac{2x}{x^2-n^2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ und wollen zeigen dass $\begin{eqnarray} g(x+1)=g(x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Betrachten wir die Summe und formen um: Für $\begin{eqnarray} N\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^N\frac{2(x+1)}{(x+1)^2-n^2} =\frac{d}{dx}\sum_{n=1}^N\ln\Bigl\|(x+1)^2-n^2\Bigr\| =\frac{d}{dx}\,\ln \prod_{n=1}^N\|x-(n-1)\|\cdot\|x+(n+1)\| \end{eqnarray}$ Im Produkt kann man nun die meisten Faktoren zu Paaren $\begin{eqnarray} (x+m)(x-m) \end{eqnarray}$ zusammennehmen, den $\begin{eqnarray} \ln \end{eqnarray}$ wieder hineinziehen und ableiten. Dann kann man den Limes $\begin{eqnarray} N\to \infty \end{eqnarray}$ bilden. Für $\begin{eqnarray} g(x+1) \end{eqnarray}$ muss man noch den Term $\begin{eqnarray} \frac{1}{x+1} \end{eqnarray}$ addieren, und das ergibt schliesslich $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ . Hoffe, dass das so stimmt...
07.02.2011, 16:48	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi ThomasL, Die Idee erstmal nur Teilsummen anzuschauen und dann den Limes zu bilden find ich gut. Allerdings finde ich den Umweg über den Logarithmus ein bisschen unschön... Weshalb nicht über die PBZ? $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^N \frac{2x}{x^2 - n^2} = \sum_{n=1}^N \left( \frac 1 {x-n} + \frac 1{x+n}\right) \end{eqnarray}$ Gruss
07.02.2011, 17:19	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, man könnte hier auch einfach die Funktionen $\begin{eqnarray} g_N(x)=\sum_{n=-N}^N \frac 1{x-n} \end{eqnarray}$ betrachten, welche ja offensichtlich "fastperiodisch" mit Periode 1 sind... Genauer gilt $\begin{eqnarray} g_N(x+1) =g_N(x)+\frac1{x+(N+1)}-\frac1{x-N} \end{eqnarray}$ d.h., der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray} g_N(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_N(x+1) \end{eqnarray}$ geht mit wachsendem N gegen 0... M.E. sollte sich das zu einem exakten Beweis für die in Rede stehende Behauptung ausbauen lassen... Edit: Sorry, hab nicht gesehn, dass gonnabphd schon die gleiche Idee hatte... Ganz wohl ist mir bei der ganzen Sache allerdings nicht, da diese Idee ein "Umordnen" der Reihengleider impliziert, d..h., man müsste sich noch ansehen, ob das hier zu Komplikationen führen kann (leider fehlt mir im Moment dafür die Zeit)...
07.02.2011, 17:55	global	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank an euch allen!!!Es hat mir sehr geholfen!!!

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