Zeige (x+c)³ > x³

05.02.2011, 10:37

bgZ

Zeige (x+c)³ > x³

Hi,

ich soll zeigen, dass gilt

$\begin{eqnarray*} (x+c)³ > x³ \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} c > 0 \end{eqnarray*}$

Meine Idee

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x³ + 3x²c + 3xc² + c³ > x³ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 3x²c + 3xc² + c³ > 0 \end{eqnarray*}$

Das hilft mir aber auch nicht weiter, weil 3xc² sowohl positiv als auch negativ sein kann.

Grüße
bgZ

05.02.2011, 10:41

tmo

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Zeige es erst für positive x und führe dann den allgemeinen Fall darauf zurück.

Wenn x negativ ist, unterscheide noch 2 Fälle.

1. c so groß, dass x+c nicht-negativ --> trivial

2. c so, dass x+c negativ

05.02.2011, 10:47

HAL 9000

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Alternativ kann man per

$\begin{eqnarray*} 3x^2c + 3xc^2 + c^3 = 3c\left( x^2+cx + \frac{c^2}{3} \right) \end{eqnarray*}$

im Klammerausdruck ein vollständiges Quadrat abtrennen.

05.02.2011, 10:52

bgZ

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Danke für Deine Antwort, tmo

Zitat:

Zeige es erst für positive x und führe dann den allgemeinen Fall darauf zurück.
Wenn x negativ ist, unterscheide noch 2 Fälle. 1. c so groß, dass x+c nicht-negativ --> trivial

Wenn diese Voraussetzungen gelten, könnte ich das Problem ganz anders angehen, nämlich

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{(x+c)³} > \sqrt[3]{x³} \Rightarrow x+c > x \end{eqnarray*}$

Zitat:

2. c so, dass x+c negativ

Das ist ja genau mein Problem

$\begin{eqnarray*} 3x²c + 3xc² + c³ > 0 \end{eqnarray*}$

Wie kann ich das am einfachsten zeigen?

Greetz, bgZ

05.02.2011, 11:00

tmo

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Du sollst auf den Fall "x positiv" zurückführen.

Das heißt: Sei $\begin{eqnarray*} x<0<c \end{eqnarray*}$ so gewählt, dass $\begin{eqnarray*} x+c<0 \end{eqnarray*}$ .

Nun setze $\begin{eqnarray*} u := -(x+c) \end{eqnarray*}$ und benutze $\begin{eqnarray*} (u+c)^3 > u^3 \end{eqnarray*}$ , da u positiv ist.

Diese Vorgehensweise wirst du immer wieder antreffen in der Mathematik. Man zeigt eine Aussage erst für einen sehr speziellen Fall und führt dann den allgemeinen Fall darauf zurück.

Hier sieht es es etwas kompliziert aus, das das "Zurückführen" fast länger dauert als der eigentliche Beweis, aber natürlich gibt es auch Aussagen, wo schon der spezielle Fall ziemlich lange dauert und man dann sehr erleichtert ist, wenn man den Rest in 3-5 Zeilen darauf zurückführen kann smile

05.02.2011, 11:30

corvus

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.
da hat mal einer nicht nur eine Bieridee, sondern einen genialen Tipp :

von HAL 9000 weitergedacht:
für $\begin{eqnarray*} c > 0 \end{eqnarray*}$ ist doch offensichtlich

$\begin{eqnarray*} 3c\cdot \left[(x+\frac{c}{2})^2 + \frac{c^2}{12}\right] > 0 \end{eqnarray*}$

und damit also in einem Schritt
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x³ + 3x²c + 3xc² + c³ > x³ \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} (x+c)³ > x³ \end{eqnarray*}$ .............. für $\begin{eqnarray*} c > 0 \end{eqnarray*}$ smile

05.02.2011, 11:47

bgZ

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Vielen Dank für die Antworten.

Ihr habt mir auf jeden Fall geholfen.

Wusste nicht dass man für solch einen Fall Substitution einsetzen darf.

Grüße
bgZ

05.02.2011, 11:58

Mystic

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Jetzt nur der Vollständigkeit halber sollte man vielleicht auch noch erwähnen, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2 \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend ist...

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