Stetigkeit

05.02.2011, 11:18

Turbotobs

Stetigkeit

Hallo,
unser Prof meinte es wäre klar warum folgende Funktion stetig ist. Allerdings ist es mir ganz und garnicht klar.
Sei $\begin{eqnarray*} q\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{q}: \mathbb Q \to \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)= \begin{cases} 0 & \textrm{falls }x < q \\ 1 & \textrm{falls } x \geq q \end{cases} \end{eqnarray*}$
stetig für alle $\begin{eqnarray*} q\in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand sagen wie ich da drauf komm?
Vielen Dank

05.02.2011, 11:34

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Turbotobs,

mein Tipp bei Stetigkeitsaufgaben ist immer, sich die Funktion erst mal bildlich vorzustellen: Wie sieht diese Funktion aus? Nimm dir ein konkretes q her, zum Beispiel $\begin{eqnarray*} q = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ . Wie sieht $\begin{eqnarray*} f_{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ aus?

05.02.2011, 11:41

Turbotobs

Auf diesen Beitrag antworten »

Jo ich habs mir schon mit pi aufgemalt. Allerdings leuchtet mir da die delte-epsilon Stetigkeit nicht ein.
Die Funktion verläuft bei y = 0 bis sqrt(2) und dann bei y = 1. Also hab ich doch offensichtlich bei x = sqrt(2) eine "Sprungstelle" wieso sollte also konvergenz vorhanden sein?
Fehlt mir da die mathematische Spitzfindigkeit? Oder hab ich das delta-epsilon Kriterium völlig falsch verstanden?

05.02.2011, 12:07

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte sein. Ich nehme an, du hast eine Linie von 0 bis Pi gemalt, oder? Das ist aber falsch, denn die Funktion ist nur auf den rationalen Zahlen definiert. Der Definitionsbereich besteht also aus unendlich vielen Punkten, aber eben nicht aus einem reellen Intervall.
Jetzt du dem Epsilon-Delta-Kriterium. Wir bekommen also ein Epsilon vorgegeben, das den Abstand der Funktionswerte angibt und sollen ein Delta finden, das den Abstand der Punkte auf der x-Achse angibt, so dass die Eigenschaft der Stetigkeit erfüllt ist.

Machen wir das ganze mal in zwei Schritten. Angenommen, ich gebe dir ein Epsilon > 1 vor, findest du dann ein Delta, das passt? Eigentlich ist dieser Fall sehr einfach, siehst du, warum?

05.02.2011, 12:24

Turbotobs

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja wenn Epsilon > 1 ist, dann ist für alle delta > 0 die Stetigkeit erfüllt oder?

Aber ich dachte das delta-epsilon Kriterium muss FÜR ALLE epsilon > 0 gelten, also insbesondere auch für 0<epsilon <1 oder nicht?

Vielen Dank für deine Hilfe!!

05.02.2011, 12:40

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Langsam, immer langsam. Augenzwinkern

Zunächst mal, wunderbar! Für Epsilon > 1 kann man alle Delta nehmen.

Jetzt zu den interessanten Epsilons, die zwischen 0 und 1 liegen. Wenn die Funktionswerte kleiner als so ein Epsilon sein soll, gibt es für den Abstand nur eine Möglichkeit: Denn es gibt sowieso nur zwei Abstände, die angenommen werden. Welche? Und welcher Abstand muss dann angenommen werden?

Angenommen, wir befinden uns "knapp" links von Pi. Funktionswert dort ist dann 0. Gibt es dann einen passenden x-Wert? Anders gefragt: Gibt es ein Delta, so dass in dem Intervall um den betrachteten x-Wert wieder rationale Zahlen liegen? Wenn dir das was sagt: Dichtheit ist das Stichwort.

05.02.2011, 13:16

Turbotobs

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cel
Jetzt zu den interessanten Epsilons, die zwischen 0 und 1 liegen. Wenn die Funktionswerte kleiner als so ein Epsilon sein soll, gibt es für den Abstand nur eine Möglichkeit: Denn es gibt sowieso nur zwei Abstände, die angenommen werden. Welche? Und welcher Abstand muss dann angenommen werden?

Ok also nehmen wir mal ein konkretes $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} q=\pi = 3,14... \end{eqnarray*}$ nehmen wir für $\begin{eqnarray*} x_{0}=3,09 \end{eqnarray*}$ , also knapp rechts von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ . Und $\begin{eqnarray*} \epsilon = 0,5 \end{eqnarray*}$ , dann umfasst die $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung nur den Wert $\begin{eqnarray*} f_{\pi}(3,09) \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

(hier wird lange gegrübelt...)

Achso stimmt, und jetzt kann ich mein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ z.B. $\begin{eqnarray*} 0,01 \end{eqnarray*}$ wählen. Damit das Kriterium erfüllt ist oder?
Also muss $\begin{eqnarray*} \delta = \pi - x_{0} \end{eqnarray*}$ sein oder?

Deswegen müssen die irrationalen Zahlen auch von der Def. Menge ausgeschlossen sein. Sonst finde ich kein passendes delta.

Und egal wie ich mein $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ es gibt immer ein nochsokleines delta, für die das Kriterium erfüllt ist, richtig?

Ich hoff du verstehst was ich meine smile

05.02.2011, 13:49

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

3,09 liegt aber links von Pi. Deswegen ist der Funktionswert dort 0. Wenn wir nun dein konkretes Epsilon mal nehmen, müssen wir ein Delta finden, so dass für alle $\begin{eqnarray*} x \in (3.09 - \delta, 3.09 + \delta) \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(3,09)| = |f(x)| < 0,5 \end{eqnarray*}$ . Den Index Pi hab ich mir mal gespart. So, der Funktionswert muss kleiner als 0,5 sein, also muss er Null sein. Und jetzt hast du gar nicht so unrecht, wir können Delta = 0,5 wählen, da f(3,09) - f(3,14) = 0 - 0 = 0 < 0,5 ist.

Deswegen habe ich oben auch diese eine Frage gestellt. Wir befinden uns knapp neben dieser Grenze Pi. Finden wir dann ein Intervall um die zu betrachtende Stelle, so dass dort wieder rationale Zahlen liegen? Dabei dürfen wir aber die Grenze Pi nicht überschreiten, weil wir sonst Probleme mit den Funktionswerten bekämen. Das hast du dir offenbar auch gedacht.

05.02.2011, 14:10

Turbotobs

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Cel
3,09 liegt aber links von pi

Ja ich hab in meiner Zettelangabe das größerzeichen umgekehrt. Ok vielen Dank hat mir wirklich sehr geholfen!! smile

Neue Frage »

Antworten »

Stetigkeit

Verwandte Themen