Folge rationaler Zahlen

26.11.2006, 22:14	Sabine123	Auf diesen Beitrag antworten »
Folge rationaler Zahlen Hallo. Ich habe Probleme bei folgender in meinen Auge sehr schweren Aufgabe: Es sei $\begin{eqnarray} (r_{n})_{n} \end{eqnarray}$ eine Folge rationaler Zahlen, die gegen eine Zahl $\begin{eqnarray} r \in \mathbb R \end{eqnarray}$ \ $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ konvergiere. Es sei $\begin{eqnarray} r_{n} = \frac{p_{n}}{q_{n}} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit geeigneten $\begin{eqnarray} p_{n} \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} q_{n} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass die Folge $\begin{eqnarray} (q_{n})_{n} \end{eqnarray}$ der Nenner unbeschränkt ist. Könnt ihr mir einen Tipp geben, wie ich anfangen soll? Ich hab anfangs an eine Fallunterscheidung gedacht, dass ich halt mal so schaue, was passiert, wenn der Nenner nicht unbeschränkt ist... aber irgendwie bekomm ich es ganz allein net hin. Freue mich über jeden Hinweis. Gruß
26.11.2006, 23:29	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge rationaler Zahlen Ich denke man kann das so machen: Angenommen, die Folge $\begin{eqnarray} (q_n) \end{eqnarray}$ ist beschränkt. Nach dem Satz von Weierstrass existiert eine konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray} (q_{n_k}) \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} q_{n_k}\to q\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k\to\infty \end{eqnarray}$ . Dann konvergiert wegen der Konvergenz der Folge $\begin{eqnarray} (r_n) \end{eqnarray}$ auch die Folge $\begin{eqnarray} (p_{n_k}) \end{eqnarray}$ gegen ein $\begin{eqnarray} p\in\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Daraus folgt aber sofort $\begin{eqnarray} r_{n_k}\to \frac{p}{q}=r\in\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ im Widerspruch zu $\begin{eqnarray} r\notin\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ .
27.11.2006, 14:29	Sabine123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi. Danke für die Antwort. Aber ich blick immernoch nicht so ganz durch. Ich verstehe nicht, warum man davon ausgehen kann, dass die beiden Teilfogen $\begin{eqnarray} (q_{n_{k}}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (p_{n_{k}}) \end{eqnarray}$ dieselben Indizes $\begin{eqnarray} n_{k} \end{eqnarray}$ haben. Und da ich das nicht vertehe, weiß ich auch nicht wie man daraus $\begin{eqnarray} (r_{n_{k}}) \to \frac{p}{q} \end{eqnarray}$ schließen kann. Wär also nett, wenn mir das noch einer erklären könnte.
27.11.2006, 15:30	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, du weißt, dass $\begin{eqnarray} q_{n_k}\to q\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Die Folge $\begin{eqnarray} (r_n) \end{eqnarray}$ ist aber definiert durch $\begin{eqnarray} r_n=\frac{p_n}{q_n} \end{eqnarray}$ , also gilt auch $\begin{eqnarray} p_{n_k}=r_{n_k}\cdot q_{n_k} \end{eqnarray}$ . Daher konvergiert also auch diese Folge $\begin{eqnarray} (p_{n_k}) \end{eqnarray}$ für die gleichen Indizes. Da jede Teilfolge einer konvergenten Folge denselben Grenzwert hat, also $\begin{eqnarray} r_{n_k}\to r\notin\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ , gilt $\begin{eqnarray} p_{n_k}\to r\cdot q=:p\in\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} p_n\in\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Also gilt $\begin{eqnarray} r=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ , ein Widerspruch!

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