zwei Würfel , Wahrscheinlichkeiten

05.02.2011, 13:07

flanders

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zwei Würfel , Wahrscheinlichkeiten

Hallo liebe Helfer,

ich habe eine Frage bzgl. des Würfelns mit zwei identischen Würfeln.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahlen 2 und 1 fallen?

Eigentlich ist die Sache ja ganz einfach Big Laugh

Big Laugh

, aber ich hab dennoch ein Problem.

Nach dem Unabhängigkeitsprinzip würd ich einfach sagen die Wahrscheinlichkeit ist :

$\begin{eqnarray*} P=\frac{1}{6}* \frac{1}{6}=\frac{1}{36} \end{eqnarray*}$

Ich geh auch davon aus, dass das die richtige Lösung ist.

Warum bekomm ich aber nun so nicht die Lösung :

Mögliche Auskommen :
$\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix} (1,1),(1,2) & \cdots & (1,6)\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ (6,1)(6,2) & \cdots & (6,6) \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Anzahl ist $\begin{eqnarray*} 36 \end{eqnarray*}$ . Jedes Auskommen hat die gleiche Wahrscheinlichkeit. In meinem Fall gibt es 2 günstige Fälle $\begin{eqnarray*} (1,2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (2,1) \end{eqnarray*}$ . Danach wäre die W'keit dann doch $\begin{eqnarray*} P=\frac{2}{36}=\frac{1}{18} \end{eqnarray*}$

Wo ist hier der Denkfehler? verwirrt

verwirrt

Hier unterscheide ich natürlich die Würfel, das ist mir klar, aber deshalb habe ich ja auch 36 mögliche Fälle.

Angenommen man unterscheidet sie nicht. Dann hätte man :

$\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix} (1,1),(1,2) & \cdots & (1,6)\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ (0)(0) & \cdots & (6,6) \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

Nur 21 mögliche Auskommen.

Dann gäb es auch nur einen günstigen Fall. Danach wäre die Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} P=\frac{1}{21} \end{eqnarray*}$

Da mir klar ist, dass nur ein Ergebnis stimmt Big Laugh

Big Laugh

, und ich bin recht sicher, dass es

$\begin{eqnarray*} P=\frac{1}{36} \end{eqnarray*}$ ist, würde ich gerne von euch meine Denkfehler aufgezeigt

bekommen bei den anderen beiden Herangehensweisen. Das wäre wirklich super!

Vielen Dank dafür.

05.02.2011, 13:19

Mystic

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RE: zwei Würfel , Wahrscheinlichkeiten
Du musst hier die folgenden beiden Ereignisse A und B betrachten:

A ist das Ereignis, dass der erste Würfel (bei irgendeiner Nummerierung) die Augenzahl $\begin{eqnarray*} a_1 \in \{1,2\} \end{eqnarray*}$ hat, B ist das Ereignis, dass der zweite Würfel die Augenzahl $\begin{eqnarray*} a_2=3-a_1 \end{eqnarray*}$ hat... Nun berechne einfach

$\begin{eqnarray*} P(A \cap B)= P(A) \cdot P(B|A) \end{eqnarray*}$

und es sollte die rchtige Wahrscheinlichkeit dabei herauskommen...

05.02.2011, 14:04

Math1986

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RE: zwei Würfel , Wahrscheinlichkeiten
@Mystik: Er hat die Lösung ja schon berechnet..

Zitat:

Original von flanders
Nach dem Unabhängigkeitsprinzip würd ich einfach sagen die Wahrscheinlichkeit ist :

$\begin{eqnarray*} P=\frac{1}{6}* \frac{1}{6}=\frac{1}{36} \end{eqnarray*}$

Ich geh auch davon aus, dass das die richtige Lösung ist.

Das ist der Fall, wenn du dich auf eine Reihenfolge der Wurfe festlegst, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im ersten Wurf eine 1 und im zweiten Wurf eine 2 gewürfelt wird (oder umgekehrt), jedoch nicht für beide zusammen.
Im Sinne der Aufgabenstellung ist diese Lösung also falsch, da die Aufgabe keine Aussage über die Reihenfolge trifft.

Zitat:

Original von flanders
Mögliche Auskommen :
$\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix} (1,1),(1,2) & \cdots & (1,6)\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ (6,1)(6,2) & \cdots & (6,6) \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Anzahl ist $\begin{eqnarray*} 36 \end{eqnarray*}$ . Jedes Auskommen hat die gleiche Wahrscheinlichkeit. In meinem Fall gibt es 2 günstige Fälle $\begin{eqnarray*} (1,2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (2,1) \end{eqnarray*}$ . Danach wäre die W'keit dann doch $\begin{eqnarray*} P=\frac{2}{36}=\frac{1}{18} \end{eqnarray*}$

Genau das ist die richtige Lösung, du suchst die Wahrscheinlichkeit für beide Ereignisse.

Stell dir vor, dass du die Würfel nacheinander wirfst, dann wirds vielleicht klarer

Zitat:

Original von flanders
Angenommen man unterscheidet sie nicht. Dann hätte man :

$\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix} (1,1),(1,2) & \cdots & (1,6)\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ (0)(0) & \cdots & (6,6) \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

Nur 21 mögliche Auskommen.

Dann gäb es auch nur einen günstigen Fall. Danach wäre die Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} P=\frac{1}{21} \end{eqnarray*}$

In dem Fall ist die errechnete Wahrscheinlichkeit falsch.
Die Methode des Abzählens funktioniert NUR dann wenn die Ereignisse gleichverteilt sind, das ist bei dieser Ergebnismenge nicht der Fall, ergo musst du das so wie oben berechnen.

05.02.2011, 14:15

Mystic

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RE: zwei Würfel , Wahrscheinlichkeiten
Hm, einerseits sagst du

Zitat:

Original von Math1986
@Mystik: Er hat die Lösung ja schon berechnet..

Andererseits sagst du aber zu seiner Art der Berechnung vollkommen korrekt

Zitat:

Original von Math1986
Das ist der Fall, wenn du dich auf eine Reihenfolge der Wurfe festlegst, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im ersten Wurf eine 1 und im zweiten Wurf eine 2 gewürfelt wird (oder umgekehrt), jedoch nicht für beide zusammen.
Im Sinne der Aufgabenstellung ist diese Lösung also falsch, da die Aufgabe keine Aussage über die Reihenfolge trifft.

also dass seine Berechnung der fraglichen Wahrscheinlichkeit vollkommen falsch war... Irgendwie passt beides jetzt nicht richtig zusammen, findest du nicht auch? verwirrt

verwirrt

Edit: Und bitte jetzt nicht sagen, er hätte sie dann weiter unten auf eine andere Art richtig berechnet, darauf habe ich mich in meiner Antwort ja nicht bezogen...

05.02.2011, 14:24

Math1986

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RE: zwei Würfel , Wahrscheinlichkeiten

Zitat:

Original von Mystic
Edit: Und bitte jetzt nicht sagen, er hätte sie dann weiter unten auf eine andere Art richtig berechnet, darauf habe ich mich in meiner Antwort ja nicht bezogen...

Genau das meinte ich..

Dein Lösungsweg ist auch richtig, aber wenn er es schon von sich aus anders berechnet hat bringt es doch nichts, ihn das ganze auf einem komplett anderen Weg zu erklären, anstatt einfach zu sagen dass seine Lösung so richtig ist

05.02.2011, 14:42

flanders

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RE: zwei Würfel , Wahrscheinlichkeiten
Hallo ihr zwei. Danke für die Beiträge, ich hab es nun verstanden. Wobei ich noch mal nachfragen will, betrfft deine(Math1986) Aussage :

Zitat:

Original von Math1986
Die Methode des Abzählens funktioniert NUR dann wenn die Ereignisse gleichverteilt sind, das ist bei dieser Ergebnismenge nicht der Fall, ergo musst du das so wie oben
berechnen.

Versteh ich das richtig, dass die Ereignisse hier nicht gleichverteilt sind, da die Wahrscheinlichkeit für Paare (1,1),(2,2),...,(6,6) niedriger ist , als für die anderen Auskommen?

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05.02.2011, 14:46

Math1986

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RE: zwei Würfel , Wahrscheinlichkeiten

Zitat:

Original von flanders
Versteh ich das richtig, dass die Ereignisse hier nicht gleichverteilt sind, da die Wahrscheinlichkeit für Paare (1,1),(2,2),...,(6,6) niedriger ist , als für die anderen Auskommen?

Ja, , da du "Nicht-Paare" auf zwei verschiedene Arten "erzeugen" kannst

05.02.2011, 14:49

Mystic

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RE: zwei Würfel , Wahrscheinlichkeiten

Zitat:

Original von Math1986
Genau das meinte ich..

Dein Lösungsweg ist auch richtig, aber wenn er es schon von sich aus anders berechnet hat bringt es doch nichts, ihn das ganze auf einem komplett anderen Weg zu erklären, anstatt einfach zu sagen dass seine Lösung so richtig ist

Noch einmal: Seine diesbezügliche Lösungsvariante war so nicht richtig, worauf ja auch du selbst hingwiesen hast, unabhängig davon, dass er auf einem anderen Wege zur richtigen Lösung gelangt war...

Ich wollte ihm einfach nur aufzeigen, was man an seiner Idee modifizieren muss, um gewissermaßen davon zu "retten", was zu retten ist... Dass du allerdings meine Variante als "komplett anderen Weg" einstufst, lässt für mich tief blicken... unglücklich

unglücklich

05.02.2011, 14:55

flanders

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RE: zwei Würfel , Wahrscheinlichkeiten
Ach super, jetzt ist alles geklärt smile

smile

.

Vielen herzlichen Dank für die super Erklärungen und schönes Wochenende.

Wink

Wink

05.02.2011, 15:00

Math1986

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RE: zwei Würfel , Wahrscheinlichkeiten

Zitat:

Original von Mystic
Noch einmal: Seine diesbezügliche Lösungsvariante war so nicht richtig, worauf ja auch du selbst hingwiesen hast, unabhängig davon, dass er auf einem anderen Wege zur richtigen Lösung gelangt war...

Ich wollte ihm einfach nur aufzeigen, was man an seiner Idee modifizieren muss, um gewissermaßen davon zu "retten", was zu retten ist... Dass du allerdings meine Variante als "komplett anderen Weg" einstufst, lässt für mich tief blicken... unglücklich

unglücklich

Noch einmal: Seine zweite Lösung war ja komplett richtig, da musste man also gar nichts "modifizieren".
Das die anderen Lösungen falsch waren habe ich ihm ja selbst aufgezeigt, das ist mir klar...

Deine Variante ist ein anderer Weg als seiner, daher halte ich es für sinnvoller, den Weg den er beschritten hat zu bestätigen als das Rad neu zu erfinden.. (mal abgesehen davon dass bedingte Wahrscheinlichkeiten, von denen nicht klar ist ob der Themenstarter sie kennt, in diesem Kontext mich an "mit Kanonen auf Spatzen schiessen" erinnert..")

Es ging ihm ja primär darum, seine Denkfehler aufgezeigt zu bekommen, und nicht darum, noch einen neuen Rechenweg kennen zu lernen

Zitat:

Original von flanders
Da mir klar ist, dass nur ein Ergebnis stimmt Big Laugh

Big Laugh

, und ich bin recht sicher, dass es $\begin{eqnarray*} P=\frac{1}{36} \end{eqnarray*}$ ist, würde ich gerne von euch meine Denkfehler aufgezeigt bekommen bei den anderen beiden Herangehensweisen. Das wäre wirklich super!

05.02.2011, 15:12

flanders

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RE: zwei Würfel , Wahrscheinlichkeiten

Zitat:

Original von Math1986

Es ging ihm ja primär darum, seine Denkfehler aufgezeigt zu bekommen, und nicht darum, noch einen neuen Rechenweg kennen zu lernen

Zitat:

Original von flanders
Da mir klar ist, dass nur ein Ergebnis stimmt Big Laugh

Big Laugh

, und ich bin recht sicher, dass es $\begin{eqnarray*} P=\frac{1}{36} \end{eqnarray*}$ ist, würde ich gerne von euch meine Denkfehler aufgezeigt bekommen bei den anderen beiden Herangehensweisen. Das wäre wirklich super!

Ja, damit hast du absolut recht . Aber ein anderern Lösungsweg zu sehen ist ja auch nicht schlecht Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.02.2011, 15:16

Math1986

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RE: zwei Würfel , Wahrscheinlichkeiten

Zitat:

Original von flanders

Ja, damit hast du absolut recht . Aber ein anderern Lösungsweg zu sehen ist ja auch nicht schlecht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der andere Rechenweg ist ja nicht falsch, ich war mir nur nicht sicher ob du das Konzept dahinter schon kennst, daher hab ich mich auf deine eigenen Ansätze beschränkt.

Wenn du noch einen anderen Weg sehen möchtest dann überlasse ich Mystic die Erklärung dazu und ziehe mich hier zurück smile

smile

05.02.2011, 15:23

flanders

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RE: zwei Würfel , Wahrscheinlichkeiten
Interessant wäre das schon . Ich habe mal gerade gegoogelt. Das ist ja quasi die Definition die du (Mystic) hingeschrieben hast.

Gesucht wird dann

$\begin{eqnarray*} P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)} \end{eqnarray*}$ , oder?

$\begin{eqnarray*} P(A)=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ , würd ich mal sagen.

Aber wie komm ich an $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ ?

05.02.2011, 15:27

Mystic

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RE: zwei Würfel , Wahrscheinlichkeiten

Zitat:

Original von Math1986

Deine Variante ist ein anderer Weg als seiner, [..]

Ja, insofern als er die Dinge richtig stellt...

Zitat:

Original von Math1986
[...]daher halte ich es für sinnvoller, den Weg den er beschritten hat zu bestätigen als das Rad neu zu erfinden...

Noch einmal, auch wenn es wohl wieder nicht nützt: Ich bin seinen Weg gegangen, nämlich mit der grundsätzlichen Aufsplittung in zwei Ereignisse A und B, statt nur ein einziges Ereignis $\begin{eqnarray*} \{(1,2),(2,1)\} \subseteq \{1,2,...,6\}^2 \end{eqnarray*}$ zu betrachten... M.a.W., ich habe ihm gesagt, was genau an seinem Weg falsch war, während du nur gesagt hast, dass er falsch war... Ein kleiner, aber feiner Unterschied... Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von Math1986
(mal abgesehen davon dass bedingte Wahrscheinlichkeiten, von denen nicht klar ist ob der Themenstarter sie kennt, in diesem Kontext mich an "mit Kanonen auf Spatzen schiessen" erinnert..")

Aha, willst du damit sagen, dass "bedingte Wahrscheinlichkeiten" für dich schon zur "höheren Wahrscheinlichkeitstheorie" gehören... geschockt

geschockt

Zitat:

Original von Math1986
Es ging ihm ja primär darum, seine Denkfehler aufgezeigt zu bekommen, und nicht darum, noch einen neuen Rechenweg kennen zu lernen

Hier stimmen wir ausnahmsweise überein... Eben aus diesem Grund habe ich ihm eben keinen "neuen Rechenweg " präsentiert, sondern bloß seinen "alten" richtiggestellt, auch wenn es dir aus irgendeinem Grund verwehrt ist, das einzusehen... unglücklich

unglücklich

05.02.2011, 15:48

Math1986

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RE: zwei Würfel , Wahrscheinlichkeiten

Zitat:

Original von Mystic
M.a.W., ich habe ihm gesagt, was genau an seinem Weg falsch war, während du nur gesagt hast, dass er falsch war... Ein kleiner, aber feiner Unterschied... Big Laugh

Big Laugh

Natürlich habe ich ihm gesagt was falsch war, lies dir meinen Beitrag nochmal durch

Zitat:

Das ist der Fall, wenn du dich auf eine Reihenfolge der Wurfe festlegst, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im ersten Wurf eine 1 und im zweiten Wurf eine 2 gewürfelt wird (oder umgekehrt), jedoch nicht für beide zusammen.
Im Sinne der Aufgabenstellung ist diese Lösung also falsch, da die Aufgabe keine Aussage über die Reihenfolge trifft.

Da steht ganz genau was falsch ist, und es scheint auch angekommen zu sein, zumindest gabs keine Rückfrage

Und wo hast du ihm denn gesagt was an seinem Rechenweg falsch ist? Ich sehe bei dir nur eine Lösung der Aufgabe..

Zitat:

Original von Mystic
Aha, willst du damit sagen, dass "bedingte Wahrscheinlichkeiten" für dich schon zur "höheren Wahrscheinlichkeitstheorie" gehören... geschockt

geschockt

Nein, natürlich nicht, nur man kann sich die Sache eben auch ohne bedingte Wahrscheinlichkeiten herleiten, und den Weg habe ich beschritten..

Dass dein Weg auch richtig ist habe ich niemals bestritten...

05.02.2011, 16:05

flanders

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RE: zwei Würfel , Wahrscheinlichkeiten
Eigentlich will ich mich hier nur ungern auf irgendeine Seite schlagen, aber ich muss schon feststellen, dass mir Math1986 's Beiträge wesentlich mehr geholfen haben und auch wesentlich besser zum Verständnis beigetragen haben. Nichts für Ungut.

Bei meinem Problem helfen mir eure letzten Posts nicht wirklich weiter Augenzwinkern

Augenzwinkern

Friedenspfeife rauchen! Big Laugh

Big Laugh

05.02.2011, 16:19

Mystic

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RE: zwei Würfel , Wahrscheinlichkeiten

Zitat:

Original von flanders
Interessant wäre das schon . Ich habe mal gerade gegoogelt. Das ist ja quasi die Definition die du (Mystic) hingeschrieben hast.

Gesucht wird dann

$\begin{eqnarray*} P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)} \end{eqnarray*}$ , oder?

$\begin{eqnarray*} P(A)=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ , würd ich mal sagen.

Aber wie komm ich an $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ ?

Gut, also nochmals und nun etwas ausführlicher als oben beschrieben...

$\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ seien wieder die Augenzahlen des ersten bzw. zweiten Würfels in irgendeiner Nummerierung... A sei das Ereignis, dass $\begin{eqnarray*} a_1 \in \{1,2\} \end{eqnarray*}$ , B das Ereignis, dass $\begin{eqnarray*} a_2=3-a_1 \end{eqnarray*}$ ist...

B ist also unmöglich, falls A nicht stattgefunden hat, und hat die Wahrschleinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(B|A)=1/6 \end{eqnarray*}$ , falls A stattgefunden hat, da dann genau eine Augenzahl "passt"... Insgesamt ist somit $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ unsere gesuchte Wahrscheinlichkeit und es gilt, wie oben schon erwähnt

$\begin{eqnarray*} P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B|A)= \frac 13 \cdot \frac 16 = \frac 1{18} \end{eqnarray*}$

Abschließend: Man kann ja nun durchaus der Meinung sein, dass dieser Weg nun doch schon etwas aufwändig ist, nur mir unterstellen zu wollen, dass ich damit von vorneherein ganz neue Wege beschreiten und sogar "das Rad neu erfinden" (O-Ton von Math1986) wollte, das war das was mich hier eigentlich erzürnt hat... geschockt

geschockt

Edit: Eigentlich wollte ich nur die Stelle

Zitat:

Original von flanders
Nach dem Unabhängigkeitsprinzip würd ich einfach sagen die Wahrscheinlichkeit ist :

$\begin{eqnarray*} P=\frac{1}{6}* \frac{1}{6}=\frac{1}{36} \end{eqnarray*}$

Ich geh auch davon aus, dass das die richtige Lösung ist.

in deinem Eingangsposting etwas genauer beleuchten und etwas mehr dazu sagen als dass das "Unabhängigkeitsprinzip" eben hier nicht gilt (um welche Ereignisse geht es dabei überhaupt?), aber ich sehe wohl ein, dass die Chancen aufgrund der dabei schon zutage tretenden fundamentalen Mißverständnisse von vornherein nur minimal waren... Insofern muss ich wohl Math1986 im nachhinein noch recht geben, dass das Ganze von meiner Seite her etwas "zu hoch" angelegt war... Wink

Wink

05.02.2011, 17:18

flanders

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RE: zwei Würfel , Wahrscheinlichkeiten
Hi Mystic,

Thx für die Antwort. So ausführlich hab ich es nun auch verstanden smile

smile

.

Besten Dank!

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