Nicht triviale Relation

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Alfred 2006 Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht triviale Relation
Meine Frage:
Hallo,

habe ein Problem bei folgender Aufgabe: Finden Sie für die Vektormenge eine nichttriviale Relation und finden Sie eine Basis für den Raum den sie aufspannen:

Vektormenge ist (1,0,1,4); (3,0,0,1); (0,0,3,11)



Meine Ideen:
o.k. hab zuerst mal eine Matrix aufgestellt und Gauß gemacht und 2 Nullzeilen rausbekommen. Das sagt mir doch, dass die Vektoren lin. abhängig sind und somit bereits eine nicht triviale Relation darstellen, oder?

gemäßt definition ist die doch bei lin. abh. Vektoren die triviale relation die einzige die den Nullvektor erzeugen können.

Also jetz versteh ich aber nicht, wie man diese nichttriviale Relation darstellen kann.

WIe ich die Basis dazu finden kann weiß ich leider nicht.

kann mir da jemand helfen?

Wär super, danke...
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde deine Aufgabenstellung etwas seltsam gestellt, denn ich weiß von keiner allgemein sinnvollen Zuordnung von Mengen von Vektoren auf Relationen.
(Beispielsweise ist jede Teilmenge eines Vektorraums (oder allgemein einer Menge) schon eine Relation. Wirklich erhellend ist diese zu Zuordnung nicht.)

Es würde mir helfen wenn du deine Definition einer (trivialen) Relation näher erläutern würdest. Ich vermute, dass die Existenz einer nichttrivialen Relation bei dir äquivalent zu linearer Abhängigkeit ist, so wie ich die Begriffe kenne machen deine Ausführungen allerdings nicht wirklich Sinn.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Alfred 2006
Hättest du die Vektoren als Zeilenvektoren geschrieben statt als Spaltenvektoren, so hättest du auch herausbekommen, dass die Vektoren linear abhängig sind.
Darüber hinaus hättest du sofort die Relation 1*x-3*y=-1*z ablesen können.
Wenn 3 Vektoren linear abhängig sind, je zwei davon nicht, was ist dann wohl die Dimension des aufgespannten Raums ? Was sagt uns das über eine Basis ?
Alfred2006 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig und richtig.

Hab die Vetoren als Spaltenvektoren ja in Gauß benutzt. und wie oben erwähnt auch die lin. abhängigkeit gefunden. Soweit kein Problem.

DIe Dimension ist die Anzahl der Basisvektoren und hier 2, da ja ein Vektor von den andern beiden dargestellt werden kann!

Was hilft mir das für die nichttriviale Relation? Soll ich jetz einen Basisvektor dazuerfinden? dann verstehe ich den Begriff "nichttrivial" nicht? Weil ja eigentlich die Lösung für ein LGS trivial ist, wenn die Vektoren unabhängig sind. Also. ich tausche das die Wörter trivial in ein Nichttrivial und dann die lin. unabhängigkeit in abhängigkeit.

IN der Beispielaufgabe ist doch die Lösung schon nichtrivial?

Kann mir da jemand weiterhelfen? Ich häng mittlerweile schin lange dran und verstehs einfach ned. Zur Zeit verwirrt mich des nur noch immer mehr...!
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

b.) zur Ermittlung einer Basis musst du die die Vektoren als Zeilenvektoren in eine Matrix
schreiben und dann gauss. Die übrig gebliebenen Zeilenvektoren sind dann eine Basis.
Die Anzahl ist die Dimension des von den Ausgangsvektoren aufgespannten Raumes.

a.) Wenn a ,b , c, die Ausgangsvektoren sind, dann muss versucht werden den
Nullvektor als Linearkomb zu bilden.

µ1*a+µ2*b+µ3*c=O (Nullvektor) die Vektoren sind nun Spalten, die µ´s die Variablen

Ich erhalte dann 2 Relationen zwischen den µ´s.

@Elvis : was sind x,y,z ? etwa meine µ´s?
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