Definition von Orthogonalbasis, Orthogonalsystem, Orthonormalsystem und Orthonormalbasis

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Deivid Auf diesen Beitrag antworten »
Definition von Orthogonalbasis, Orthogonalsystem, Orthonormalsystem und Orthonormalbasis
Meine Frage:
Hallo an euch allen,

ich hätte ein folgendes Anliegen. Bevor ich meine Frage stelle, möchte ich vorhin abklären, dass ich sehr lange gegoogelt und auch in diesem Forum nach geschaut habe. Jedoch verstehe ich trotzdem nicht was der Unterschied zwischen einem Orthogonalsystem und einer Orthogonalbasis ist. Ich habe eine folgende Definition gefunden, die mich äußerst verwirrt.

Definition : " Eine Basis von V, die auch ein Orthogonalsystem ist, heißt Orthogonalsbasis. Wenn sie ein Orthonormalsystem ist, heißt sie Orthonormalbasis."

Nun verwirrt mich dieser Satz, denn ein Orthogonalsystem besteht doch ebenfalls aus linear unabhängigen Vektoren, die wiederum eine Basis bilden. Was ist denn jetzt der Unterschied??

Ich wäre echt dankbar wenn mir jemand helfen könnte.

Gruß Deivid90

Meine Ideen:
ich weis zwar wie man ein einzelne vektoren auf orthgonalität überprüft aber ich würde gerne wissen was der Unterschied ist. Schön wäre es auch wenn jmd eine Beispielaufgaben dazu hätte wo dann der Unterschied deutlich wird.
Cel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definition von Orthogonalbasis, Orthogonalsystem, Orthonormalsystem und Orthonormalbasis
Hallo,

Zitat:
Original von Deivid
Nun verwirrt mich dieser Satz, denn ein Orthogonalsystem besteht doch ebenfalls aus linear unabhängigen Vektoren, die wiederum eine Basis bilden. Was ist denn jetzt der Unterschied??


Nein, ein Orthogonalsystem ist nicht unbedingt eine Basis.

Im bilden zum Beispiel ein Orthogonalsystem, sind aber keine Basis vom .
Deivid Auf diesen Beitrag antworten »
...
hmmm aber deine vektoren sind doch linear unabhängig( kein Vielfaches voneinander).
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind sie. Aber eine Basis vom IR³ bilden sie nicht. Siehe dazu auch den entsprechenden Wikiartikel. In der Definition ist keine Rede von Basen.
Deivid Auf diesen Beitrag antworten »
...
ok hab ich gelesen....aber Basis heißt ja, dass eine Menge von Vektore einen Vektorraum erzeugen und dass diese linear unabhängig sind....Kannst du mir sagen warum die Vektoren bei deinem Beispiel keine Basis sind...

Gruß Deivid
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Weil man mit ihnen zum Beispiel den Vektor nicht darstellen kann.
 
 
Deivid Auf diesen Beitrag antworten »
...
ach ja...jetzt weiß ich es wieder....man kann aus den basisvektoren alle Vektoren des Vektorraums darstellen... aber wie überprüfe ich ob ein Orthogonalsystem eine Basis darstellt....
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Indem du die vermeintlichen Basisvektoren nimmst und sie linearkombinierst. Dann guckst du, ob man dasmit jeden (!) Vektor des Vektorraumes darstellen kannst.

Es gibt aber schöne Sätze, die du nutzen kannst. Zum Beispiel weiß man, dass n linear unabhängige Vektoren eine Basis des IR^n bilden. Oder: Im IR^n sind Systeme mit mehr als n + 1 Vektoren immer linear abhängig. Sätze dieser Art müssten in deiner Vorlesung vorgekommen sein.
Deivid Auf diesen Beitrag antworten »
...
Vielen Dank für deine Hilfe smile Nein leider sind solche Sätze bei uns in der Vorlesung noch nicht vorgekommen. Also heißt es dass beispielsweise 4 Vektoren im R^3 linear abhängig sind?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Ich denke aber, dass ähnliche Sätze noch kommen werden. Ist eigentlich Standard.
Deivid Auf diesen Beitrag antworten »
...
Ok danke nochmals smile geht es auch, so dass ich die Vektoren als eine Matrix schreibe und dannach die Basisvektoren berechne, in dem ich die Matrix dann transponiere und Zeilenumformung durchführe und dann die Zeilenvektoren so zu sagen als Basisvektoren ablese. So berechne ich auf jeden Fall im eine Basis einer Ausgangsmatrix. Kann ich dies auch bei Berechnen von Orthogonalbasen machen?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, denn in aller Regel werden diese Basisvektoren nicht orthogonal sein (geschweige denn orthonormal).Dazu brauchst du den Gram-Schmidt-Algorithmus. Dieser setzt allerdings eine Basis voraus. Und die kannst du mit deinem Verfahren herausfinden. Gram-Schmidt kommt auch noch in der Vorlesung, falls noch nicht geschehen.
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