Schwierige Extremwertaufgabe - richtig gelöst?

05.02.2011, 18:35	sourire	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwierige Extremwertaufgabe - richtig gelöst? Ein rotationssymmetrischer SChwimmkörper hat die Form eines Zylinders mit zwei aufgesetzten Kugelsegmenten. DIe Basiskreise der Kugelsegmente sind der Deck- bzw. der Grundkreis des Zylinders und die Höhe der Kugelsegmente ist der halbe Zylinderradius. Berechne die Abmessungen, damit bei gegebenem Volumen V die erforderliche Blechmenge ein Minimum wird. Berechne die Abmessungen und Oberfläche für V=66,096 pi dm^3. Die Höhe des Zylinders habe ich H genannt, der Radius ist r, die Höhe de r Kugelsegmente h=r/2. HB: O=MIN=2rpiH + (2rpih)2 NB: V=gegeben=66,096 pi = r^2piH + 2h^2pir-(2/3)h^3 Für H ergibt sich: H= -10r/24 + 66,096/(r^2). Eingesetzt in O komme ich auf r=3,840. Laut Lösungsbuch ist dies allerdings falsch (3,6 dm). Könnte mir vielleicht jemand sagen, was ich falsch gemacht habe? Vielen Dank im Voraus!
05.02.2011, 22:22	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwierige Extremwertaufgabe - richtig gelöst? Ich bin gerade dabei, mir Deine Aufgabe anzuschauen, bin aber mit der Berechnung noch nicht ganz durch. Hast Du beachtet, dass in der Volumenformel für die Kalotte der Radius der Kugel eforderlich ist, und nicht der Radius der Kalottengrundfläche? Ich melde mich morgen sicher nochmal.
06.02.2011, 10:06	sourire	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Ich habe immer den Radius des Zylinders dafür verwendet (der Basiskreis des Segments ist ja der Grundkreis des Zylinders). Danke schon mal im Voraus für die Hilfe!
06.02.2011, 10:42	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Das darfst Du aber nicht, hmm, oder ich übersehe grade was. Guck mal hier, daraus geht eindeutig hervor, dass r der Radius der Kugel ist. Ich habe es schon einmal durchgerechnet, komme aber auch nicht auf die Lösung im Buch. Ist auch nicht gerade einfach. Den Kugelradius bezeichne ich mit R, dann kann man ja eine Beziehung zu r (= Zylinderradius = Basiskreisradius) herstellen. Man kann mit Pythagoras sagen: R² = r² + (R - h)² Löse es nach R auf und ersetze h durch (1/2) * r.
06.02.2011, 12:48	sourire	Auf diesen Beitrag antworten »
Das verstehe ich nicht richtig... Wie kommt man auf (R-h)^2?
06.02.2011, 18:18	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie eine Kalotte räumlich ausschaut, zeigt ja die Grafik im Wikipedia-Artikel. Und hier eine Skizze mit Deinem Bezeichnungsschema, auf der hoffentlich die Anwendung von Pythagoras deutlich anschaulich wird. [attach]17991[/attach] Das Volumen einer Kalotte wäre also: $\begin{eqnarray} V_{Kal}=\frac{h^2\cdot \pi}{3}\cdot (3R - h) \end{eqnarray}$ Von der Höhe der Kalotte hast Du ja schon gesagt: h = (1/2) * r Jetzt musst Du noch R ausdrücken.
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08.02.2011, 17:14	sourire	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Graphik und die Erklärung, jetzt versteh ich das besser!

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