homogene Lösung einer DGL mit e-Funktion

05.02.2011, 18:47

Philipp19882

Auf diesen Beitrag antworten »

homogene Lösung einer DGL mit e-Funktion

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich soll von einer DGL die homogene und wenn möglich die partikuläre Lösung finden.
Die Gleichung ist folgende:

(e^x)y´-(e^x)y-(1+e^x)=0

Ich weiß leider keinen Ansatz wie ich an diese Aufgabe heran gehen soll, da ich die y´s und die e^x´s nicht voneinander getrennt bekomme. Ist es überhaupt nötig diese zu trennen? Es wäre toll wenn mir jemand einen Tip geben könnte wie ich auf die allgemeine Lösung komme.

Meine Ideen:
Ich hab die Gleichung mal etwas aufgeteilt, so dass ich auf folgendes kam:

y´-y+(y´/e^x)=1+(1/e^x)

weiter komme ich leider nicht.
Ich würde mich über jede Hilfe freuen

mfg Philipp19882

05.02.2011, 19:23

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: homogene Lösung einer DGL mit e-Funktion
Löse doch erstmal die homogene DGL, so steht es doch auch in der Aufgabe. Denn in der Tat kannst du die Variablen hier nicht so ohne weiteres trennen. Also erst einmal Störglied rausnehmen:

$\begin{eqnarray*} e^xy'-e^xy=0 \end{eqnarray*}$

Diese DGL ist denkbar einfach. Anschließend geht's mit Variation der Konstanten weiter, um dann auch die inhomogene DGL zu lösen.

05.02.2011, 22:10

Philipp19882

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die schnelle Hilfe, ich hab aber grad gesehen, dass ich in der Ausgangsformel eine 1 vergessen habe, wodurch noch ein y´übrig bleibt. Setzt ich das mit ins Störglied, oder lass ich das erstmal raus, normal müsste es ja mit ins Störglied oder bin ich da falsch?
Ich setzt mich mal ran und versuchs zu lösen, danke nochmal.
Achso hier noch fix die richtige Aufgabe:

(1+e^x)y´-(e^x)y-(1+e^x)=0

mfg Philipp19882

05.02.2011, 22:34

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: homogene Lösung einer DGL mit e-Funktion
Am prinzipiellen Vorgehen ändert das erst einmal nichts. Fang mit der homogenen DGL an.

Zitat:

Setzt ich das mit ins Störglied, oder lass ich das erstmal raus, normal müsste es ja mit ins Störglied oder bin ich da falsch?

Diese Frage ist (mir) völlig unverständlich. Keine Ahnung, was du meinst.

05.02.2011, 22:51

Philipp19882

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, ich hab das jetzt mal versucht und hab hoffentlich das richtige heraus bekommen:

C*[»*(1+e^x)-e^x]=0

Ich hoffe mal das ist richtig, ich rechne sowas heute zum ersten mal.

umgestellt hab ich es vorher so:

y´(1+e^x)-ye^x=0 bzw. bevor ich es 0 gesetzt habe stand auf der rechten Seite -1+e^x

Aber irgendwie komme ich jetzt mit der partikulären nicht weiter

06.02.2011, 08:39

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: homogene Lösung einer DGL mit e-Funktion

Zitat:

Original von Philipp19882
C*[»*(1+e^x)-e^x]=0

Was soll das denn nun sein? Und vor allem: Was ist dieses "»" eigentlich?

Zitat:

Original von Philipp19882
y´(1+e^x)-ye^x=0 bzw. bevor ich es 0 gesetzt habe stand auf der rechten Seite -1+e^x

Nein, auf der linken Seite stand vorher -(1+e^x) und das ist ein Unterschied. Aber gut, diesen Term haben wir ja sowieso erstmal beiseite gelegt.

Bei y'(1+e^x)-ye^x=0 sind nun die Variablen zu trennen. Dann kannst du integrieren. Was du dann erhälst, sollte eine Funktion y (bzw. eine Menge von Funktionen) sein, die die homogene DGL erfüllen. Du hast da oben jetzt aber irgendwie eine Gleichung hingeschrieben.

Anzeige

06.02.2011, 10:52

Philipp19882

Auf diesen Beitrag antworten »

Das » sollte ein lambda werden, ist wohl irgendwie schief gegangen. Was genau meinst du mit Variablen trennen, kannst du mir das erklären? Meinst du ich soll das so umstellen, das nur noch y da ist? Das hab ich versucht, aber ich bekomm es nie hin, dass das e^x verschwindet.
Ich hab in die Formel

y´(1+e^x)-ye^x=0

für y´=»*C*e^(»*x)
und für y=C*e^(»*x)

eingesetzt. Ich hab mal für das Lambda das Zeichen "»" beibehalten, hoffe es verwirrt nicht.

Oh stimmt, das mit dem -(1+e^x) hab ich übersehen, danke.

06.02.2011, 11:07

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: homogene Lösung einer DGL mit e-Funktion

Zitat:

Original von Philipp19882
Was genau meinst du mit Variablen trennen, kannst du mir das erklären? Meinst du ich soll das so umstellen, das nur noch y da ist? Das hab ich versucht, aber ich bekomm es nie hin, dass das e^x verschwindet.

Trennung der Variablen ist doch nun wirklich so ziemlich das allererste, was man lernt, wenn es um das Lösen von Differentialgleichungen geht. Ein kurzer Blick z.B. bei Wikipedia hätte da auch einiges geliefert (inklusive Beispielrechnungen).

Forme so um, dass auf der einen Seite nur noch y, und auf der anderen Seite nur noch x auftaucht. Das sind nur zwei elementare Rechenschritte!

$\begin{eqnarray*} (1+e^x)y'-e^xy=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (1+e^x)y'=e^xy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{y'}{y} = \frac{e^x}{1+e^x} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Philipp19882
Ich hab in die Formel

y´(1+e^x)-ye^x=0

für y´=»*C*e^(»*x)
und für y=C*e^(»*x)

Aber wieso?

Überdies sind da jetzt auch viel zu viele Konstanten drin, ich weiß gar nicht, wo die alle herkommen. Aber ganz generell mal: Wenn du nicht Latex verwenden willst, warum müssen es dann denn trotzdem unbedingt griechische Buchstaben sein, selbst wenn diese nicht funktionieren?

06.02.2011, 11:46

Philipp19882

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, die Variablen trennen, das hab ich versucht, wo das -(1+e^x) drin war, drum hatte das nicht funktioniert, ansonsten ist das klar, danke.
Ich löse solche Aufgaben zum ersten mal und versuche mir das grad selber beizubringen. Das kam bei uns in der Mathe Prüfung dran und desshalb rechne ich das jetzt.
Ich versuche die Aufgabe mit der Papula Formelsammlung zu lösen, desswegen komm ich wahrscheinlich auf Sachen, die du nicht nachvollziehen kannst.
Und die griechischen Buchstaben müssen nicht unbedingt sein, achso und danke für den Tip mit Latex, wusste damit nix anzufangen, werde mich aber mal mit beschäftigen.
Nun nochmal zur Aufgabe.
Ich finde leider kein Beispiel in meinen Büchern, wo eine Aufgabe mal so aufgeteilt ist. Ich muss doch jetzt für y und für y´etwas einsetzten, oder sehe ich das falsch?
Für y´kann man ja auch sagen dy/dx und das umgestellt wäre dann

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{y} = \frac{e^{x} }{1+ e^{x} } *dx \end{eqnarray*}$

das heißt ja dann ich müsste die linke und die rechte Seite integrieren.
Das wäre dann meiner Meinung nach:

$\begin{eqnarray*} y= Ce^{x} + C \end{eqnarray*}$

und schon hätt ich die normale Lösung, hoffe das ist jetzt richtig.

06.02.2011, 12:18

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: homogene Lösung einer DGL mit e-Funktion

Zitat:

Original von Philipp19882
Oh, die Variablen trennen, das hab ich versucht, wo das -(1+e^x) drin war, drum hatte das nicht funktioniert, [/latex]

Aha, na dann ist dir ja jetzt klar geworden, warum du erst die homogene Lösung suchen sollst. Denn wenn man das -(1+e^x) drin lässt, klappt das mit der Trennung der Variablen eben nicht.

Was deine Lösung betrifft: Du musst aufpassen, dass du die Integrationkonstante richtig setzt. Vor allem zum richtigen Zeitpunkt. Wir hatten gefunden:

$\begin{eqnarray*} \int \frac 1y \, \dd y = \int \frac{e^x}{1+e^x} \, \dx \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} \ln|y|=\ln(1+e^x)+C \end{eqnarray*}$

Dann erhälst du, wenn du auf beiden Seiten potenzierst:

$\begin{eqnarray*} y = e^{\ln(1+e^x)+C} = (1+e^x)\cdot e^C \end{eqnarray*}$

Es reicht, diese Integrationskonstante nur auf einer Seite hinzuzufügen. Man kann auch auf beiden Seiten eine hinzufügen, das ist nicht falsch, aber unnötig umständlich. Siehe dazu vielleicht noch hier.

Dieses e^C kannst du jetzt jedenfalls der Einfachheit halber zu einer neuen, einfacheren Konstante C zusammenfassen. Aber dahinter dann noch ein C zu addieren verfälscht die Lösung!! Wo sollte das zusätzliche C auch herkommen? Integriert wird da doch nicht mehr. Setz das in die homogene DGL ein, dann wirst du sehen, dass das nicht darf. Du kannst deine Lösungen ja auch immer ganz leicht überprüfen, indem du sie in die DGL einsetzt. Lösung ist also:

$\begin{eqnarray*} y=C \cdot (1+e^x) \ \ \text{mit} \ \ C \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Mit den Integrationskonstanten musst du aufpassen. Die kommen beim Integrieren hinzu und nicht irgendwann, wann es dir am besten gefällt. Achte auf die Reihenfolge in deinen Rechnungen.

So, die homogene Lösung veränderst du jetzt, indem du schreibst:

$\begin{eqnarray*} y_p = C(x)(1+e^x) \end{eqnarray*}$

Das heißt, aus der vorherigen Konstante C machen wir jetzt eine nicht konstante Funktion (darum Variation der Konstanten) und wir nehmen an, dass es irgendein C(x) gibt, so dass yp dann die inhomogene DGL (also die MIT Störglied) löst, also die, wo das Störglied eben nicht weggelassen wurde. Dazu setzt du yp in die inhomogene DGL ein. Vorher musst du yp noch ableiten, beachte dabei die Produktregel. Löse das dann C'(x) auf und integriere, sofern möglich. Dann hast du dein C(x) und die vollständige Lösung gefunden.

Du kannst dir überlegen, warum das so geht: Dadurch, dass dieses C nicht mehr konstant ist, kommt beim Ableiten durch die Produktregel ein neuer Summand hinzu. Und dieser Summand soll dann dem Störglied entsprechen.

06.02.2011, 12:42

Philipp19882

Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich dann die yp habe, leite ich die ja noch ab um yp´zu bekommen, welches dann C(x)*e^x wäre oder zählt das (x) auch als normales x wodurch dann

yp´ $\begin{eqnarray*} = C+ C*e^{x} + C(x) \end{eqnarray*}$

wenn ich C(x)*e^x einsetze kommt 0 raus, bei der anderen Ableitung würden mir zuviele C´s rauskommen, oder ist C und C(x) das selbe, so das ich die zusammenfassen kann?

06.02.2011, 12:51

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich

Scheinbar ist dir die Produktregel nicht geläufig... dann schlag sie nach.

06.02.2011, 13:11

Philipp19882

Auf diesen Beitrag antworten »

doch doch produktregel ist u´*v+v´*u ich kann nur mit dem C(x) nicht viel anfangen

06.02.2011, 13:59

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: homogene Lösung einer DGL mit e-Funktion
Die Ableitung von C(x) ist demnach einfach C'(x). Ich verstehe das nicht, du kannst irgendein u(x) und ein v(x) ableiten, aber auf ein C(x) kannst du es nicht übertragen?

Wir wollen C(x) doch erstmal bestimmen. Dazu setzt du in die DGL ein und löst nach C'(x) auf. Und dann - man staune - integrieren wir, um C(x) zu bestimmen.

06.02.2011, 14:56

Philipp19882

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt meine Gleichung nach C´(x) umgestellt, so das raus kommt:

C´(x)=- $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+e^{x} } \end{eqnarray*}$

das jetzt integriert ergibt:

C(x)=-[ $\begin{eqnarray*} x- ln(1+ e^{x} ) \end{eqnarray*}$ ]

Das dann in yp eingesetzt wäre:

yp=-[ $\begin{eqnarray*} x- ln(1+ e^{x} ) \end{eqnarray*}$ ] $\begin{eqnarray*} *(1+ e^{x} ) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe jetzt mal alles richtig gemacht zu haben.

06.02.2011, 17:26

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: homogene Lösung einer DGL mit e-Funktion
Sieht gut aus.

Zum Überprüfen kann man das natürlich wieder in die inhomogene DGL einsetzen, das wird in diesem Fall zwar eine etwas längere Rechnung, aber es funktioniert. Aber ich komme auch auf diese Lösung.

06.02.2011, 17:34

Philipp19882

Auf diesen Beitrag antworten »

Super, dann hab ichs ja doch gepackt. Vielen dank für die super Hilfe.

06.02.2011, 17:37

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: homogene Lösung einer DGL mit e-Funktion
Wobei: Einen Einwand habe ich doch noch (entschuldige, darauf hatte ich jetzt nicht geachtet): Du hast die Integrationskonstante vergessen. Beim Integrieren dieses c'(x) kam ja wieder eine Konstante dazu: Insgesamt müsste es also so heißen:

$\begin{eqnarray*} C(x)=x-\ln(1+e^x)+\tilde{c} \end{eqnarray*}$

und damit für die Gesamtlösung:

$\begin{eqnarray*} y_p=(1+e^x)(x-\ln(1+e^x)+\tilde{c}) \end{eqnarray*}$

So hast du alle Lösungen.

06.02.2011, 17:49

Philipp19882

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt, Flüchtigkeitsfehler.

Also Danke nochmal, hast mir sehr geholfen

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »