Auslöschung vermeiden

05.02.2011, 19:27

Gast11022013

Auslöschung vermeiden

Meine Frage:
Forme den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1-\cos(x)}{x^2} \end{eqnarray*}$ so um, dass für kleine positive x keine Auslöschung auftritt.

Meine Ideen:
Die einzige Idee, die ich bis jetzt hatte, war:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{(1-\cos(x))\cdot (1+\cos(x))}{x^2\cdot (1+\cos(x))}=\frac{1-\cos^2(x)}{x^2+x^2\cdot \cos(x)}=\frac{sin^2(x)}{x^2+x^2\cos(x)} \end{eqnarray*}$

Ists das schon?

05.02.2011, 19:36

tigerbine

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RE: Auslöschung vermeiden

Zumindest besser. Was mich wundert ist, dass das Problem der Duvision durch 0 gar nicht angesprochen wird.

Aber auch hier hat man sich verbessert.

05.02.2011, 20:14

system-agent

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Wie wäre bei so einer komischen Frage wenn man den Kosinus als Potenzreihe schreibt?

05.02.2011, 21:52

Gast11022013

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Den Kosinus als Potenzreihe schreiben?

$\begin{eqnarray*} \cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}}{x^2}=\frac{1-(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}...)}{x^2} \end{eqnarray*}$

Was hat man dann erreicht? Es sind doch dann immer noch einige Subtraktionen vorhanden. Ich hatte diese Idee abgegeben und darauf keine Punkte bekommen. Vielleicht habe ich ja aber auch falsch verstanden, was Du meinst.

05.02.2011, 22:10

tigerbine

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Zitat:

Ich hatte diese Idee abgegeben und darauf keine Punkte bekommen.

Du hast also schon abgegeben und ihr habt es noch nicht besprochen?

edit:

Es wäre denkbar, da sehr kleine x-Werte:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1-\cos(x)}{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y \approx \frac{1-(1-\frac{x^2}{2})}{x^2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Obwohl das ja nicht das übliche ist, was man unter Umformulierung versteht.

@system-agent
Meintest du das? Und wie gibt man in O-Notation den Fehler an? Wink

05.02.2011, 22:30

Gast11022013

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Achso! Jetzt habe ich (glaube ich) verstanden!

Die Idee ist einfach, dass man sich anguckt, welche Werte die Funktion y annimmt für sehr kleine x-Werte und Deine Graphik zeigt: Dieser Wert ist ca. 0,5.

Wenn man die Cosinusfunktion in der Potenzreihendarstellung nimmt und dann geeignet abbricht (hier nach dem Summanden $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{2} \end{eqnarray*}$ ), erhält man auch diesen Wert; man hat im Nenner nur noch $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{2} \end{eqnarray*}$ stehen und so auch einen Ausdruck gefunden, der Auslöschung vermeidet.

Eine kluge Idee, finde ich.

Aber wie Du schon sagst: Ist nicht gerade die klassische Umformulierung, sondern eher eine Art "Approximation".

Aber ich denke, das ist doch eigentlich legitim.

[Und um mal wieder mein Scheitern einzugestehen: Mit dieser nachvollziehbaren Argumentation hatte ich das nicht abgegeben; dann war das vermutlich der Grund, warum ich keine Punkte bekam - und nicht, weil die Idee unangemessen ist.]

05.02.2011, 22:57

system-agent

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Zitat:

Original von tigerbine
@system-agent
Meintest du das? Und wie gibt man in O-Notation den Fehler an? Wink

Ja, das meinte ich.
Bei einer so ungenauen Fragestellung [was heisst denn schon "klein"?] würde ich darauf verzichten.

@Dennis
Was war denn nun die verlangte/besprochene Lösung?

05.02.2011, 22:59

Gast11022013

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Die verlangte Lösung ist mir unbekannt.
Leider wurde ja nichts besprochen und ich habe mich erst jetzt drum gekümmert.

Ich habe jedenfalls keine Punkte bekommen; wie gesagt: Ich habe aber auch nicht gut argumentiert und erst jetzt so richtig verstanden, wieso die Idee mit der Potenzreihendarstellung des Cosinus hier sinnvoll ist.

Ich danke dafür!

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