log(0)

06.02.2011, 16:04

franzi p.

log(0)

Meine Frage:
Hallo, warum ist log(0) undefiniert?

Ist es nicht sinnvoller log(0) = -unendlich zu definieren?

Hat das mal irgendwer ausdiskutiert?

Meine Ideen:
ICh habe keine Idee...

06.02.2011, 16:18

system-agent

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Üblicherweise führt man [in der Schule] den Logarithmus ein als diese eindeutige reelle Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , welche die Gleichung $\begin{eqnarray*} e^x=b \end{eqnarray*}$ erfüllt, wobei $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ vorgegebene reelle Zahlen sind.

Nun müsste die Zahl $\begin{eqnarray*} \log(0) \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} e^{\log(0)}=0 \end{eqnarray*}$ erfüllen. Aber solch eine Zahl gibt es nicht.

Zitat:

Ist es nicht sinnvoller log(0) = -unendlich zu definieren?

Nein, denn $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ist keine [reelle] Zahl.

06.02.2011, 16:19

Airblader

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Damit ergibt sich zuerstmal das Problem, dass $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$ keine reellen Zahlen sind (und auch keine komplexen, wo wir schon dabei sind). Durch diese Definition würdest du das Problem also "lösen", indem du es auf eine neue Struktur schiebst - das bringt dich im Reellen oder Komplexen aber nicht weiter.

Das nächste Problem ist die Verträglichkeit. Wäre $\begin{eqnarray*} \ln 0 = -\infty \end{eqnarray*}$ , so wäre ja nach der üblichen Motivation für den Logarithmus $\begin{eqnarray*} e^{-\infty} = 0 \end{eqnarray*}$ (man beachte bitte, dass dies rein symbolisch gelesen werden soll) und dann hat die e-Funktion plötzlich eine Nullstelle (auch wenn sie nicht mehr in den reellen Zahlen liegt).

Die Frage ist also: Warum würdest du sowas definieren wollen? Welchen Vorteil verschaffst du dir dadurch?

air

06.02.2011, 16:20

Leopold

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Ich nehme an, daß du den natürlichen Logarithmus meinst. Aus

$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^x \to 0+0 \ \ \mbox{für} \ \ x \to - \infty \end{eqnarray*}$

folgt durch Übergang zur Umkehrfunktion tatsächlich

$\begin{eqnarray*} \ln x \to - \infty \ \ \mbox{für} \ \ x \to 0+0 \end{eqnarray*}$

Ob man daraus aber eine Gleichung $\begin{eqnarray*} \ln 0 = - \infty \end{eqnarray*}$ macht, hängt davon ab, inwiefern man die uneigentlichen Symbole $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ als Werte einer Funktion zuläßt. Befriedigend läßt sich das Ganze nur lösen, indem man $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mittels Zweipunktkompaktifizierung zu

$\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ - \infty, \infty \} \end{eqnarray*}$

erweitert. Dann bekommt man in der Tat durch die Festlegung $\begin{eqnarray*} \ln 0 = - \infty \end{eqnarray*}$ eine stetige Funktion. Ansonsten sollte man sich aber davor hüten, leichtfertig mit den beiden uneigentlichen Symbolen umzugehen. Da kann man schnell im logischen Abseits landen.

06.02.2011, 16:39

franzi p.

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Okay das mit den Zahlenräumen macht Sinn.

Das mit den Nullstellen wäre mir ja eigentlich egal...

Ich bin nur durch die Shannon-Entropie auf diese Frage gekommen, da hier davon ausgegangen wird, dass

$\begin{eqnarray*} 0*log(0) = 0 \end{eqnarray*}$ gibt, wobei Teile davon ja garnicht definiert sind.

Irgendwie unschön.

06.02.2011, 16:47

Leopold

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Vermutlich steckt da der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \left( x \ln x \right) = 0 \end{eqnarray*}$

dahinter. Und diese Beziehung ist durchaus korrekt.

06.02.2011, 16:48

Airblader

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Zitat:

Original von franzi p.
Das mit den Nullstellen wäre mir ja eigentlich egal...

Eine allgemeingültige Definition hängt aber von weit mehr ab als von dir und dem einen Problem, dem du dich widmest. unglücklich

Du kannst die Mathematik in deiner eigenen Arbeit natürlich ständig nach Belieben ändern oder erweitern. Mit auftauchenden Widersprüchen hast du dann aber auch alleine klarzukommen. Augenzwinkern

Mein Beispiel sollte auch nur verdeutlichen, dass sich aus dieser "Kleinigkeit" elementare Widersprüche zu Ergebnissen der "klassischen" Mathematik ergeben - und zwar noch wesentlich mehr als nur dieser eine Widerspruch. Und deine Ausarbeitung eines Themas wird nutzlos, wenn du mit einer kaputten Mathematik arbeitest.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0*log(0) = 0 \end{eqnarray*}$ gibt, wobei Teile davon ja garnicht definiert sind.

Stimmt. Aber gerade bei dieser Gleichung wäre $\begin{eqnarray*} \ln 0 := -\infty \end{eqnarray*}$ so ziemlich die dümmste Definition, denn dadurch wird deine Gleichung nicht richtig. Du müsstest, um Sinn & Gültigkeit in dieser Gleichung zu erhalten, vielmehr $\begin{eqnarray*} \ln 0 := a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ (also irgendeine reelle Zahl) definieren. Das hat aber wiederum endlose andere Widersprüche oder Probleme zur Folge.

air

06.02.2011, 16:56

Leopold

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Durch die Definition $\begin{eqnarray*} \ln 0 = - \infty \end{eqnarray*}$ oder gleichwertig $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^{- \infty} = 0 \end{eqnarray*}$ ergeben sich keine Widersprüche zur "klassischen Mathematik", einfach weil diese den Fall gar nicht behandelt.

Auch im letzten Punkt stimme ich dir nicht zu. Du unterstellst einfach, daß die Körpereigenschaft beim Hinzunehmen der uneigentlichen Symbole erhalten bleibt. Aber wer sagt das?

06.02.2011, 18:38

Airblader

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Zitat:

Original von Leopold
Durch die Definition $\begin{eqnarray*} \ln 0 = - \infty \end{eqnarray*}$ oder gleichwertig $\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^{- \infty} = 0 \end{eqnarray*}$ ergeben sich keine Widersprüche zur "klassischen Mathematik", einfach weil diese den Fall gar nicht behandelt.

Was ich damit, beispielsweise, meinte, war, dass Aussagen wie "Die e-Funktion hat keine Nullstelle" ihre Gültigkeit verlieren. Sicher, wir bewegen uns nun auf einem anderen Zahlenraum, aber das Ganze sollte ja auch mehr beispielhaft sein.

Zitat:

Du unterstellst einfach, daß die Körpereigenschaft beim Hinzunehmen der uneigentlichen Symbole erhalten bleibt. Aber wer sagt das?

Sicher. Aber das ist es doch: Man macht sich halt das kaputt, was man eigentlich hat. Und das spricht nicht für den Sinn einer solchen Definition.

air

06.02.2011, 18:45

Leopold

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Mit dieser Argumentation müßtest du auch die komplexen Zahlen verbieten, nur weil man sich das Gesetz, daß Quadrate niemals negativ sind, kaputt macht.

Oder die gebrochenen Hochzahlen: Was man sich da alles für Ärger einhandelt (negative Basen)!

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