Faktorgruppe nach p-Gruppe

06.02.2011, 17:36	alex8687	Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorgruppe nach p-Gruppe Hallo, Die Aufgabe lautet: Es seien p eine Primzahl, M, N Normalteiler von G mit G/M und G/N p-Gruppen. Zeigen Sie: G / (M $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ N) p-Gruppe Mein Ansatz ist: G/M hat die Form { $\begin{eqnarray} g1 \cdot M, g2 \cdot M, ... \end{eqnarray}$ } und G/N die Form { $\begin{eqnarray} h1 \cdot N, h2 \cdot N, ... \end{eqnarray}$ } Dann hat G / (M $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ N) die Form { $\begin{eqnarray} g_{i} h_{i} (N \cap M) \| i\in \mathbb N \end{eqnarray}$ } Für $\begin{eqnarray} g_{i} \in N \end{eqnarray}$ folgt auch $\begin{eqnarray} g_{i}^{k} \in N \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0 \leq k<p \end{eqnarray}$ Aber irgendwie bin ich selber davon nicht überzeugt. Hat jemand vielleicht ein Tip? Danke
06.02.2011, 18:34	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorgruppe nach p-Gruppe Hi Alex, Du könntest Dir innerhalb der Gruppe $\begin{eqnarray} G/(M\cap N) \end{eqnarray}$ zum Beispiel mal die (normale) Untergruppe $\begin{eqnarray} M/(M\cap N) \end{eqnarray}$ und deren Faktorgruppe $\begin{eqnarray} (G/(M\cap N))/(M/(M\cap N)) \end{eqnarray}$ angucken. Gruß, Reksilat.
08.02.2011, 10:58	alex8687	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke für deine Antwort. Und $\begin{eqnarray} M/(M\cap N) \end{eqnarray}$ ist eine p-Gruppe, da Isomorph zu einer UG von $\begin{eqnarray} G/N \end{eqnarray}$ . Ist das richtig?
08.02.2011, 11:03	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, $\begin{eqnarray} M/(M\cap N)\cong MN/N \end{eqnarray}$ ist dazu ein passender Isomorphiesatz.
10.02.2011, 18:16	alex8687	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, Danke schön!

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