explizite und implizite DGL

06.02.2011, 18:20

charis

explizite und implizite DGL

Hallo,

generell gilt ja:

Eine DGL ist implizit, wenn sie in der Form

$\begin{eqnarray*} F\bigl( t; x; \dot{x}; \ddot{x}; \ldots ; x^{(n)} \bigr) = 0 \end{eqnarray*}$

notiert ist. Zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \dot{x}(t) + x(t)\cdot \ddot{x}(t) &= 7\cdot x(t) \end{eqnarray*}$
Eine DGL ist explizit, wenn sie nach ihrer höchsten Ableitung aufgelöst werden kann (oder ist), also die Form

$\begin{eqnarray*} x^{(n)}(t) = F \bigl( t; x; \dot{x}; \ldots; x^{(n-1)} \bigr) \end{eqnarray*}$

hat. Zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} x^{2} + \ddot{x}(t) - 3x &= \sin{(\Omega t)} \end{eqnarray*}$

Eine Frage dazu: Im Buch Mathematik für Ingenieure Band 2 von Papula (IBSN: 978-3-8348-0564-5) ist auf Seite 345 geschrieben,

$\begin{eqnarray*} y''' + 2\cdot y' = \cos{(x)} \end{eqnarray*}$

sei eine implizite DGL 3. Ordnung. Ich hätte jetzt selber gesagt, die wäre explizit 3. Ordnung ... wo liegt mein Denkfehler? Ich seh grad den Wald vor läuter Bäumen nicht. Sie ist doch direkt einfach auflösbar:

$\begin{eqnarray*} y''' = -2\cdot y' + \cos{(x)} \end{eqnarray*}$

aber mir ist klar, das ist ein Buch in der 12. (oder 13.?) Auflage ist und ich liege falsch. Kann mir das jemand erklären? Würde mich freuen. smile

06.02.2011, 19:26

system-agent

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Du hast schon Recht, das Ding ist explizit.

06.02.2011, 20:52

charis

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Jetzt echt? Bin wirklich nicht sicher. Du bist dir aber sehr sicher? smile

Weil ich muss gerade wieder so DGL-Zeugs aufwärmen, wobei ich ironischerweise damit schon sooo lange nicht mehr damit zu tun hatte ... unglücklich

06.02.2011, 21:41

system-agent

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Bin mir zu 99.9% sicher Augenzwinkern

09.03.2011, 12:32

charis

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Sind folgende DGLn implizit oder explizit? Ich komme wirklich nicht drauf ...

1) $\begin{eqnarray*} \dot{x}(t) + x(t) \ddot{x}(t) = 3 x(t) \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \bigl(\ddot{y}(t)\bigr)^{2} + y^{2}(t) - y(t) = 0 \end{eqnarray*}$

Ich frage, weil ich die Bestimmung einer expliziten DGL so kenne, dass eine DGL explizit ist, wenn sie nach ihrer höchsten Ableitung aufgelöst werden kann. Dann bleibt aber noch die Frage: Kommt auch darauf an, wie?

Zum Beispiel ... ist die zweite DGL von mir oben auch expliit, nur dass man dann die rechte Seite dann unter dem Wurzelzeichen stehen hat?

09.03.2011, 15:45

system-agent

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Nach der Definition die du erwähnt hast würde ich sagen, dass beide Gleichungen explizit sind. Aber ich denke mal dass man noch Anforderungen an $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ stellt, dann könnte die Sache wieder anders aussehen.

09.03.2011, 17:07

charis

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Also ich glaube ich habe da Mist geschrieben. Ich glaube es kommt auf die gerade vorliegende Notation an, also ob die DGL, die gerade im Moment vor einem steht, explizit nach der höchsten Ableitung aufgelöst ist oder incht.

Dsa lustige ist, bei WIkipedia stehen auch zwei sich widersprechende Definition unter
http://de.wikipedia.org/wiki/Gew%C3%B6hn...eine_Definition

Zitat:

Kann die Differentialgleichung nach der höchsten vorkommenden Ableitung aufgelöst werden...

und unter

http://de.wikipedia.org/wiki/Differentia...tialgleichungen

Zitat:

Schreibt sich die gewöhnliche Differentialgleichung in der Form
...
so heißt die gewöhnliche Differentialgleichung implizit. Ist die Differentialgleichung nach der höchsten Ableitung aufgelöst, d. h. es gilt

$\begin{eqnarray*} y^{(n)} = \ldots \end{eqnarray*}$

so nennt man die gewöhnliche Differentialgleichung explizit.

Aber ich weiß, Wikipedia ist auch nicht der heilige Gral des Wissens.

Ich meine also...., es kommt auf die aktuelle Notation an. Irgendwie. Muss ja.

09.03.2011, 17:28

system-agent

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Jedenfalls ist es möglich, die zweite obige DGL in die geforderte Form zu bringen - auch wenn die rechte Seite nicht sehr nett wird.
Die erste deiner Gleichungen ist schon fragwürdiger, denn da musst du durch $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ dividieren - und das kann Probleme machen.

Jedenfalls nach der Definition "explizit <=> kann aufgelöst werden" und wenn man an $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ keine Forderungen stellt [zb überall differenzierbar ], dann sind beide Gleichungen explizit.

09.03.2011, 18:34

charis

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Ja, aber der Haken ist, so gesehen kann quasi alles irgendwie aufgelöst werden. Ist dann mehr oder weniger "nett", das stimmt, aber somit ist dann ja jede DGL irgendwo explizit. Ist doch Humbug, oder meinste nich? smile

09.03.2011, 19:13

system-agent

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Ja, das ist auf jeden Fall Humbug, aber solange ich keine vernünftige Definition einer "expliziten DGL" kenne bleibt das für mich beim Humbug.

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