Vollständige Induktion

06.02.2011, 19:07

Mö

Vollständige Induktion

Meine Frage:
Hey ho
ich soll mit Hilfe der vollständigen Induktion folgenden Sachverhalt beweisen

für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 5^{n} + 7 ist immer durch 4 teilbar \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
joa ich hab dann einfach mal angefangen

InduktionsAnfang n=1

5+7=12
12/4=3 w.A. durch 4 teilbar

InduktionsVoraussetzung

Es existiert ein x für das gilt $\begin{eqnarray*} 5^{x} + 7 ist durch 4 teilbar \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist ob ich das bis hierhin so machen kann. Weil mir meine IV doch etwas komisch vorkommt... Ich hab dann trotzdem erstmal versucht weiter zu machen.

IndutkionsSchritt

x+1

$\begin{eqnarray*} 5^{x+1} + 7 \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} (5^{x}*5) + 7 \end{eqnarray*}$

bis hierhin bin ich erstmal

gruß mö

06.02.2011, 19:12

Iorek

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IA: $\begin{eqnarray*} \checkmark \end{eqnarray*}$
IV: Die Behauptung gelte für ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , du solltest dazuschreiben, dass es sich hier um natürliche Zahlen handelt.

Für den IS ein Tipp: $\begin{eqnarray*} 5\cdot a=a+a+a+a+a \end{eqnarray*}$ .

06.02.2011, 19:25

corvus

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von Mö

für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 5^{n} + 7 ist immer durch 4 teilbar \end{eqnarray*}$

..

InduktionsVoraussetzung

Es existiert ein x für das gilt $\begin{eqnarray*} 5^{x} + 7 ist durch 4 teilbar \end{eqnarray*}$

das solltest du so aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} 5^{n}+7 = 4 \cdot k \end{eqnarray*}$ .... mit ... $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

und für den Schluss von n auf n+1 solltest du nun daraus herleiten,
dass (wenn dies gilt) daraus dann folgt, es gilt auch:->

$\begin{eqnarray*} 5^{n+1}+7 = 4 \cdot m \end{eqnarray*}$ .... mit ... $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

.

06.02.2011, 19:40

Mö

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hm...
wenn ich den weg mit dem 4*k gehe wäre dann also beim IA n=1 und k=3?
und wie könnte ich dann im IS die $\begin{eqnarray*} 5^{n+1} \end{eqnarray*}$ für die Aufgabe nützlich umformen... ich möchte ja irgendwie meine IV einsetzten können

06.02.2011, 19:55

corvus

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Zitat:

Original von Mö
hm...
wenn ich den weg mit dem 4*k gehe wäre dann also beim IA n=1 und k=3? Freude

und wie könnte ich dann im IS die $\begin{eqnarray*} 5^{n+1} \end{eqnarray*}$ für die Aufgabe nützlich umformen...
ich möchte ja irgendwie meine IV einsetzten können

IV:

$\begin{eqnarray*} 5^{n}+7 = 4 \cdot k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5^{n}= 4 \cdot k -7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5^{n+1}= 20 \cdot k -35 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5^{n+1} + 7 = 20 \cdot k -28 = 4 \cdot (..?..) \end{eqnarray*}$

und jetzt finde selbst heraus, was für eine Zahl in der Klammer herumsteht,
wenn k>2 aus N) ..

..................................... smile

06.02.2011, 20:12

Mö

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also würde dann in der klammer stehen

4*(5k-7)?

06.02.2011, 20:22

corvus

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Zitat:

Original von Mö
also würde dann in der klammer stehen

4*(5k-7)?

nein in der Klammer steht nur 5k-7

und damit kannst du dir eine schlaue Aussage über die Art dieser Zahl ausdenken..

(so im Hinblick auf die für n+1 sich ergebende Aussageform..)

usw.

06.02.2011, 20:32

Mö

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ups meint ich ja das in der klammer nur 5k-7 steht ^^
meinte mit 4*(5k-7) meinte ich die gesamte zeile Hammer

ok dann bedank ich mich an dieser stelle erstmal
ich schau jetzt noch wie ich das alles schön hinschreiben kann und formuliere mir noch ne schöne Aussage zusammen

also nochmal danke Freude

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