Unterraum, Isomorphie, Eigenvektoren

06.02.2011, 19:42

TestDummy

Unterraum, Isomorphie, Eigenvektoren

Seien $\begin{eqnarray*} a,b,c \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} V= \{(x^n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}: x^{n+3} = ax^{n+2} + bx^{n+1} + cx^n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \} \end{eqnarray*}$ .

1) Z.z. ist, dass V ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist.
2) Z.z. ist, dass es ein $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt, so dass V isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^k \end{eqnarray*}$ ist.
3)Es ist eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb{R}^{3x3} \end{eqnarray*}$ zu finden, so dass gilt:

$\begin{eqnarray*} A \begin{pmatrix} x^n \\ x^{n+1} \\ x^{n+2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^{n+1} \\ x^{n+2} \\ x^{n+3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

4) Für $\begin{eqnarray*} a = -3, b = 0, c = 4 \end{eqnarray*}$ soll man die Eigenwerte von A und die entsprechenden Eigenvektoren bestimmen. Dann soll man diese mit dem $\begin{eqnarray*} Vektor 3 \cdot E_3 \end{eqnarray*}$ zu einer Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ergänzen und A bzgl. dieser Basis darstellen.

Meine Ideen:

1) Da sind die Unterraumkriterien nachzuweisen.
Also $\begin{eqnarray*} 0 \in V \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} \lambda, \gamma \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b \in V \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot a + \gamma \cdot b \in V \end{eqnarray*}$ .

Ein Element von V sieht so aus: $\begin{eqnarray*} x^{n+3} = ax^{n+2} + bx^{n+1} + cx^n \end{eqnarray*}$ .

Aber wie läuft denn dieser Beweis ab?

$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot x^{n+3} = \lambda \cdot ax^{n+2} + \lambda \cdot bx^{n+1} + \lambda \cdot cx^n \in V \end{eqnarray*}$ .

und

$\begin{eqnarray*} x^{n+3} + y^{n+3} = ax^{n+2} + bx^{n+1} + cx^n + ay^{n+2} + by^{n+1} + cy^n \in V \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 0^{n+3} = a0^{n+2} + b0^{n+1} + c0^n \in V \end{eqnarray*}$ .

zu 2) habe ich noch keine Idee; mich interessiert aber zunächst auch eher die Lösung zu der 3. Aufgabe, da ich sie anscheinend benötige, um die 4. Aufgabe überhaupt lösen zu können. Deshalb wäre ich sehr dankbar, wenn man mir da etwas weiterhelfen könnte. Ich weiß nämlich nicht, wie ich auf diese Matrix A komme.

Danke. smile

06.02.2011, 19:48

jester.

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Hallo,

Zitat:

Ein Element von V sieht so aus: $\begin{eqnarray*} x^{n+3} = ax^{n+2} + bx^{n+1} + cx^n \end{eqnarray*}$ .

Das stimmt nicht ganz, denn da steht eine Gleichung. In $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ liegen alle Folgen $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ , die die angegebene Rekursion erfüllen.

Du müsstest also zeigen, dass der Nullvektor, in diesem Fall also die Nullfolge, diese Rekursion erfüllt (das ist klar) und dass eine Linearkombination zweier Folgen, die die Rekursion bereits erfüllen, die Rekursion weiterhin erfüllen.

Nimm also $\begin{eqnarray*} (x_n), ~(y_n) ~\in V \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} x_{n+3}=ax_{n+2} +bx_{n+1} +c x_{n} \end{eqnarray*}$ und entsprechend für die Gleider von $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ .
Wie sieht dann $\begin{eqnarray*} (x+y)_{n+3} \end{eqnarray*}$ aus (also das $\begin{eqnarray*} n+3 \end{eqnarray*}$ -te Folgenglied der summierten Folge)? Weißt du wie Folgen addiert werden?

07.02.2011, 18:18

TestDummy

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Hallo,

also das sollte dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} (x+y)_{n+3} = (ax+ay)_{n+2} + (bx+by)_{n+1} + (cx+cy)_n \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? Und gilt: $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot x^{n+3} = \lambda \cdot ax^{n+2} + \lambda \cdot bx^{n+1} + \lambda \cdot cx^n \in V \end{eqnarray*}$ ?

Denn dann wären die Eigenschaften ja gezeigt.

Meine Überlegungen zur dritten Aufgabe sind nun folgende:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0& c \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_n \\ x_{n+1} \\ x_{n+2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ x_{n+2} \\ x_{n+3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0& c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Matrix A ist und für a,b,c die entsprechenden Werte eingesetzt werden müssen.
Also quasi $\begin{eqnarray*} a \cdot x_n = x_{n+1} \end{eqnarray*}$ ...falls das stimmen sollte, bin ich mir aber nicht sicher, welche Werte ich für a,b,c einsetzen muss. Ist $\begin{eqnarray*} a=x \end{eqnarray*}$ ?

07.02.2011, 19:28

jester.

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Zitat:

Original von TestDummy
Hallo,

also das sollte dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} (x+y)_{n+3} = (ax+ay)_{n+2} + (bx+by)_{n+1} + (cx+cy)_n \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? Und gilt: $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot x^{n+3} = \lambda \cdot ax^{n+2} + \lambda \cdot bx^{n+1} + \lambda \cdot cx^n \in V \end{eqnarray*}$ ?

Denn dann wären die Eigenschaften ja gezeigt.

Natürlich ist das beides richtig, sonst läge ja kein Vektorraum vor. Aber du solltest noch kurz begründen, warum das richtig ist.

Zitat:

Meine Überlegungen zur dritten Aufgabe sind nun folgende:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0& c \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_n \\ x_{n+1} \\ x_{n+2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ x_{n+2} \\ x_{n+3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 0 & 0\\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0& c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Matrix A ist und für a,b,c die entsprechenden Werte eingesetzt werden müssen.
Also quasi $\begin{eqnarray*} a \cdot x_n = x_{n+1} \end{eqnarray*}$ ...falls das stimmen sollte, bin ich mir aber nicht sicher, welche Werte ich für a,b,c einsetzen muss. Ist $\begin{eqnarray*} a=x \end{eqnarray*}$ ?

Hier stimmen einige Dinge noch nicht. Diese Matrixgleichung sagt z.B. $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=ax_{n} \end{eqnarray*}$ , aber das ist doch fast nie richtig.

Ich an deiner Stelle würde die ersten beiden Zeilen mit trivialen Aussagen füllen und in der letzten Zeile die Rekursionsvorschrift unterbringen, die Elemente von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ auszeichnet.

07.02.2011, 19:53

TestDummy

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Ok danke, meinst du mit trivialen Aussagen die Einträge der Einheitsmatrix?

Also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ a & b& c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Rekursionsvorschrift ist das dann:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ cx_n & bx_{n+1}& ax_{n+2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
So wie ich das der vierten Aufgabe entnehme, müssen in der Matrix A a,b,c enthalten sein. Was ich mich aber jetzt schon frage ist, wie ich die Eigenwerte der Matrix bestimmen soll, wenn diese Folgen Einträge in der Matrix sind. verwirrt

07.02.2011, 20:00

jester.

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Warum sollten die Folgen denn Einträge in der Matrix sein? Du kennst einen Zusammenhang zwischen den Folgengliedern und du sollst eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ angeben, die $\begin{eqnarray*} A \begin{pmatrix} x_n \\ x_{n+1} \\ x_{n+2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ x_{n+2} \\ x_{n+3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Dein Vorschlag ist nun die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ a&b&c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Multipliziere ich nun $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_n \\ x_{n+1} \\ x_{n+2}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ an diese Matrix heran, so erhalte ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_n \\ x_{n+1} \\ ax_n + bx_{n+1} +c x_{n+2} \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} x_n \\ x_{n+1} \\ x_{n+2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Insbesondere ist $\begin{eqnarray*} ax_n+bx_{n+1}+cx_{n+2} \end{eqnarray*}$ nicht die Rekursionsvorschrift, die $\begin{eqnarray*} x_{n+3} \end{eqnarray*}$ liefert.

Edit: Mit trivialen Aussagen meine ich etwas wie $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=x_{n+1} \end{eqnarray*}$ .

07.02.2011, 20:23

TestDummy

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Meintest du $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_n \\ x_{n+1} \\ ax_n + bx_{n+1} +c x_{n+2} \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ x_{n+2} \\ x_{n+3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Ich glaube, ich verstehe nicht so ganz, was du meinst.
Wenn ich z.B. die erste Zeile der Matrix A so fülle: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_{n+1}&0&0 \\ 0&1&0 \\ a&b&c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , dann würde der erste Eintrag der Matrix, die ich nach der Mutliplikation erhalte so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_{n+1}&0&0 \\ 0&1&0 \\ a&b&c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n \\ x_{n+1} \\ x_{n+2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{n+1} \cdot x_n \\ . \\ . \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erfüllt.
Also, der erste Eintrag der Matrix A muss doch ein Eintrag sein, der multipliziert mit $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \end{eqnarray*}$ ergibt. Und der Rest der Zeile kann dann 0 sein.

07.02.2011, 20:37

jester.

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Zitat:

Original von TestDummy
Meintest du $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_n \\ x_{n+1} \\ ax_n + bx_{n+1} +c x_{n+2} \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} x_{n+1} \\ x_{n+2} \\ x_{n+3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Ja, das meinte ich.

Konzentrieren wir uns mal nur auf die letzte Zeile. Da müssen wir die Gleichung $\begin{eqnarray*} x_{n+3}=ax_{n+2}+bx_{n+1}+cx_n \end{eqnarray*}$ unterbringen und zwar durch Multiplikation mit dem Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x_n \\ x_{n+1} \\ x_{n+2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Wenn wir beachten, wie wir Matrizen und Vektoren multiplizieren, muss die letzte Zeile also $\begin{eqnarray*} (c,b,a) \end{eqnarray*}$ sein.

Und wie kann man, bei Beachtung der Art und Weise, wie wir multiplizieren, für die ersten beiden Zeilen die Gleichungen $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=x_{n+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{n+2}=x_{n+2} \end{eqnarray*}$ realisieren?

07.02.2011, 20:54

TestDummy

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Sieht die Matrix dann so aus?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} c&0&0 \\ c&b&0 \\ c&b&a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_n \\ x_{n+1} \\ x_{n+2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_{n+1} \\ x_{n+2} \\ x_{n+3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Denn:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=cx_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{n+2}=bx_{n+1}+cx_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{n+3}=ax_{n+2}+bx_{n+1}+cx_n \end{eqnarray*}$

07.02.2011, 22:58

jester.

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Zitat:

Original von TestDummy
Denn:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=cx_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{n+2}=bx_{n+1}+cx_n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{n+3}=ax_{n+2}+bx_{n+1}+cx_n \end{eqnarray*}$

Warum sollten die oberen zwei Gleichungen gelten? Im Regelfall werden sie dies nicht tun.

Ich dachte an die offensichtliche (?) Wahl $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&1&0 \\ 0&0&1 \\ c&b&a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

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