Substitutionsmethode der Integration

27.11.2006, 13:15

Barium

Substitutionsmethode der Integration

Hallo!

Fiele jemandem eine geeignete Substitution für

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{\sqrt{x}+1}}~dx \end{eqnarray*}$

ein?

Gruß,
Barium

27.11.2006, 13:20

klarsoweit

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RE: Substitutionsmethode der Integration
Schon mal probiert, den Nenner = u zu setzen?

27.11.2006, 13:28

Barium

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Ja; bei mir kam nichts Weiterbringendes raus...

27.11.2006, 13:31

mercany

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Zitat:

Original von Barium
Ja; bei mir kam nichts Weiterbringendes raus...

Na klar, geht doch wunderbar.

Du hast dann $\begin{eqnarray*} u = \sqrt{\sqrt{x}+1} \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \frac{\dd u}{\dd x} = \frac{1}{4\cdot \sqrt{\sqrt{x}+1} \cdot \sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Was ist dann dein $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ ?

Gruß, mercany

27.11.2006, 13:47

Barium

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Zitat:

Original von mercany

Zitat:

Original von Barium
Ja; bei mir kam nichts Weiterbringendes raus...

So weit war ich auch schon, dann stand da:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{u}~4\cdot \sqrt{\sqrt{x}+1}\cdot \sqrt{x}\cdot du \end{eqnarray*}$

Wie soll ich dann denn weitermachen? Oder hab ich was falsch gemacht?

27.11.2006, 13:53

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Was hat eine Substitution $\begin{eqnarray*} x\to u \end{eqnarray*}$ für einen Sinn, wenn man nicht alle Instanzen von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ersetzt? unglücklich

27.11.2006, 13:54

Barium

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Da x=u nicht gilt, kann ich doch nicht jedes x durch ein u ersetzen! verwirrt

27.11.2006, 13:58

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Ersetzen gemäß Substitution natürlich!

Also $\begin{eqnarray*} u=\sqrt{\sqrt{x}+1} \end{eqnarray*}$ bedeutet $\begin{eqnarray*} x=(u^2-1)^2 \end{eqnarray*}$ und weiter $\begin{eqnarray*} \dd x = 4u(u^2-1)~ \dd u \end{eqnarray*}$ , usw.

Wie habt ihr denn Substitution kennengelernt???

27.11.2006, 14:13

Barium

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Noch kaum; wir haben bisher nur wenige Aufgaben berechnet und in unserem Mathe-LK tun sich sowieso viele damit schwer... Big Laugh

Ich habe jetzt als Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \sqrt{\sqrt{x}+1}^{3} - 4\sqrt{\sqrt{x}+1} \end{eqnarray*}$ heraus - stimmt das?

//edit: Ich habe abgeleitet und etwas Anderes heraus...

27.11.2006, 14:23

mercany

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Ja, das Ergebnis passt.
Wenn du es jetzt noch richtig mit Integralzeichen aufschreibst, ist es alles korrekt.

Gruß, mercany

27.11.2006, 14:31

Barium

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Aber es kann doch nicht sein, dass $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{\sqrt{x}+1}}~dx = \frac{4}{3} \sqrt{\sqrt{x}+1}^{3} - 4\sqrt{\sqrt{x}+1} \end{eqnarray*}$ !

27.11.2006, 14:33

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Wieso kann das nicht sein?

27.11.2006, 14:41

Barium

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Weil bei mir herauskommt, wenn ich das Ergebnis ableite:

$\begin{eqnarray*} 2+\frac{2}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

//edit: Und wenn ich versuche zu beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{\sqrt{x}+1}} = 2+\frac{2}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ , komme ich zu keinem Ergebnis...

27.11.2006, 15:51

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Dann machst du beim Ableiten irgendeinen Fehler, verhedderst dich vermutlich bei den Ketten der Kettenregel...

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