Sylowsätze/Isomorphietypen bestimmen

06.02.2011, 19:54	herzass	Auf diesen Beitrag antworten »
Sylowsätze/Isomorphietypen bestimmen Hallo ich bin neu hier und hoffe ihr könnt mir helfen. bald steht meine algebra klausur an und ich habe eine verständnis frage zu den sylow-sätzen. immer wenn wir die sylowsätze angewandt haben, waren die sylowgruppen P am ende isomorph zur jeweiligen zyklischen gruppe C. aber warum ist das immer so? die sylowgruppen müssen doch nicht unbedingt zyklisch sein... dann habe ich noch eine weitere allgemeine frage: wenn eine gruppe isomorph zum semidirekten produkt zweier zyklischer gruppen ist, wie bestimmt man dann den homomorphismusvon der einen zykl. gruppe in die automorphismengruppe der anderen? vielen dank für eure hilfe
06.02.2011, 20:03	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
In der $\begin{eqnarray} A_4 \end{eqnarray}$ ist die $\begin{eqnarray} V_4 \cong C_2 \times C_2 \end{eqnarray}$ die 2-Sylowgruppe. Wenn man ein semidirektes Produkt hat, dann ist der Homomorphismus m.E. nicht eindeutig. Könntest du diese Frage also mal etwas genauer stellen oder ein Beispiel geben?
06.02.2011, 20:19	herzass	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die schnelle antwort!! z.B. lGl= 3513 dann ist G isomorph zum semidirekten produkt zwischen C65 und C3. wir haben dann rausgefunden, dass die 3-sylowgruppe normal ist. ab da haperts dann ein wenig mit dem verstädnis: wegen normal gibt es nur eine untergruppe C3 in Aut(C65).also entweder f:C3-->{1} oder C3-->C3<= Aut(C65) surjektiv. die entstehenden isomorphietypen sind dann gleich
06.02.2011, 20:31	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Wahlen $\begin{eqnarray} f ~: ~ C_3 \to \{1\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f ~:~ C_3 \to C_3 \end{eqnarray}$ liefern nicht den gleichen Isomorphietyp von Gruppen. Beachte, wie man in $\begin{eqnarray} G \rtimes _f H \end{eqnarray}$ multipliziert: $\begin{eqnarray} (g_1,h_1) \cdot (g_2,h_2)= (g_1 \cdot f(h_1) (g_2) , h_1 \cdot h_2) \end{eqnarray}$ . Wählst du jetzt $\begin{eqnarray} f~:~ C_3 \to \{1\} \end{eqnarray}$ , so bildet $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ jedes Element in $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ auf die Identität auf $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ab, sodass das entstehende semidirekte Produkt zum direkten Produkt der Gruppen isomorph ist, in diesem Fall also $\begin{eqnarray} C_3 \times C_5 \times C_{13} \end{eqnarray}$ . Die andere Wahl liefert dir eine nicht-abelsche Gruppe der Ordnung 195.
07.02.2011, 16:05	herzass	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke, aber wie kommt man überhaupt auf so einen homomorphismus?
07.02.2011, 16:12	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, wir möchten ein nichttriviales semidirektes Produkt zwischen $\begin{eqnarray} C_{65} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C_3 \end{eqnarray}$ konstruieren. Es ist $\begin{eqnarray} \|{\rm Aut}(C_{65})\|=\varphi(65)=48 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} 3\mid \|{\rm Aut}(C_{65})\| \end{eqnarray}$ , somit gibt es ein $\begin{eqnarray} \varphi \in {\rm Aut}(C_{65}) \end{eqnarray}$ von Ordnung 3 nach Sylow. Sei $\begin{eqnarray} C_3 = \langle g \rangle \end{eqnarray}$ , definiere dann $\begin{eqnarray} f ~:~ C_3 \to {\rm Aut}(C_{65}), ~ g\mapsto \varphi \end{eqnarray}$ . Damit ist $\begin{eqnarray} C_{65} \rtimes _f C_3 \end{eqnarray}$ eine nicht abelsche Gruppe der Ordnung 195. Ich brauche also nur die Existenz eines Elements von geeigneter Ordnung in der Automorphismengruppe.
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07.02.2011, 16:35	herzass	Auf diesen Beitrag antworten »
ahja danke, das hilft mir schon sehr! also es existiert immer ein trivialer homomorphismus und um die anderen isomorphietypen zu bestimmen, schaut man, ob die ordnung der sylowgruppe ein teiler von AUT ist??? danke
07.02.2011, 19:37	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit diesem Verfahren habe ich keinen Isomorphietyp festgestellt. Ich habe auch keine Sylowgruppe bestimmt (das ist im Regelfall etwas anderes, nämlich die Untergruppe von maximaler p-Potenz-Ordnung für geeignetes p), sondern einen Satz von Sylow benutzt, der mir sagt, dass er zu jedem Primteiler der Gruppenordnung ein Gruppenelement gibt, das diese Ordnung hat. Damit stelle ich einfach sicher, dass es einen Homomorphismus von $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} {\rm Aut} (G) \end{eqnarray}$ gibt.

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