Lineare Abhängigkeit von Vektoren

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OttoHesse Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abhängigkeit von Vektoren
Guten Abend smile

Wähle die reele Zahl a so, damit die Vektoren linear abhängig sind.

4.


Drei andere Teilaufgaben konnte ich ohne große Probleme lösen, doch bei der 4. habe ich meine Probleme.

Zu Beginn erstelle ich eine Matrix und versuche mit dem Gaußverfahren Nullen zu erzeugen (danke nochmal Bjoern1982smile )



Ich multipliziere die 1 Zeile mit a^2.



Subtrahiere die 1. Zeile mit der 3.



Doch egal was ich jetzt mache, ich verliere meine 0 in der 3.Zeile.
Ich muss für die 2. Null nun mit der 2. Zeile arbeiten, doch wenn ich sie mit der 3. Zeile addiere oder subtrahiere wird aus meiner 0:
a^2 bzw. -a^2

Könnt ihr mir weiter helfen?

Dankeschön smile
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Der nächste Schritt wäre nun dass du auch in der 2. Zeile in der ersten Variable eine Null bekommst.

Abgesehen davon gibt es auch eine recht einfache Lösung für a, wenn du dir die Vektoren genau anschaust kommst du bestimmt darauf
 
 
OttoHesse Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort Black smile

Tut mir Leid, das hatte ich total verschlafen :P
Ja dann kann ich einfach die 1. Zeile mit der 2. subtrahieren.

Hmm müsste es dann heißen

a +- 8 = 1
oder
a +- 8 +- 1 = 0
?

Danke.
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von OttoHesse
Hmm müsste es dann heißen
a +- 8 = 1
oder
a +- 8 +- 1 = 0
?

Danke.


Müsste was dann heißen?

Wenn du die Zeilen verrechnest?
Ich werd nicht ganz schlau daraus, sag nochmal genau was du machen willst.
OttoHesse Auf diesen Beitrag antworten »

Müssten dann heißen:



Ich hatte noch nicht verstanden, wie du das meintest man könne durch hinsehen die Lösung herausfinden.
Ich wusste nicht genau, was die Lösung ist.
Ist die Lösung nun 0 oder ein Vektor der sich durch die beiden anderen darstellen lässt.

Danke Black.
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte dass du um hier das a zu bestimmen nicht unbedingt ein LGS lösen musst.

Schau dir mal genau an, für welches a sind die beiden linear abhängig?
OttoHesse Auf diesen Beitrag antworten »

a=1 ?
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, damit hast du dir ne Menge rechnerei erspart :-)
OttoHesse Auf diesen Beitrag antworten »

Super, dankeschön smile

Eine Frage noch:
Kann es auch sein das ich keinen Wert für a finde, damit die Vektoren linear abhängig sind?
Wie würde sich das im LGS bemerkbar machen?
Würde ich es dann einfach nicht schaffen Nullen zu erzeugen?

Vielen Dank Black smile
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: Mein Fehler
OttoHesse Auf diesen Beitrag antworten »

Ist a=-2 nicht eine Lösung?

Black Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du hast recht beim Beispiel hab ich mich vertan ich überleg mir noch ein richtiges Hammer
Black Auf diesen Beitrag antworten »



führt zu



Führt zu



Führt zu r,s=0
OttoHesse Auf diesen Beitrag antworten »

Okey jetzt habe ich es verstanden smile
Vielen Dank Black,
wünsche dir noch einen schönen Abend smile

PS.: Spricht man dann nicht von einer trivialen Lösung oder so? Big Laugh
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von OttoHesse
Okey jetzt habe ich es verstanden smile
Vielen Dank Black,
wünsche dir noch einen schönen Abend smile

PS.: Spricht man dann nicht von einer trivialen Lösung oder so? Big Laugh


Ja das nennt man tatsächlich so.
Auch dir noch einen schönen Abend smile
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Übrigens ist a=1 nicht die einzige Lösung, ich hoffe das ist klar verwirrt
OttoHesse Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm.
Komme ich mit dem LGS noch auf die Lösung?


Hier war ich ja vorhin stehen geblieben, nur vllt. bin ich schon den falschen Weg gegangen.

Danke.
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das LGS hast du soweit richtig gelöst.

Da nur nach einer Lösung gefragt war bin ich nicht mehr weiter darauf eingegangen, vor allem weil das Lösen eine ziemlich hässliche Rechnerei ist.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
...vor allem weil das Lösen eine ziemlich hässliche Rechnerei ist.


Und genau deshalb sollte man es sich nicht zu kompliziert machen und direkt am Anfang mit II-I und III-I arbeiten.
Damit wird es dann sehr unkompliziert.
Wenn man Zeilen (wie oben) noch mit a² multipliziert, müsste man auch noch den Fall a=0 separat untersuchen, da man ja in diesem Fall mit null multipliziert hätte...

Zitat:
OttoHesse Auf diesen Beitrag antworten »

Okey ich habe erfahren das die 2. Lösung a = 5/3 ist.

Mal sehen, ob ich auch drauf komme.

2. Zeile mit a dividieren.



Wenn ich nun die 2. mit der 3. Zeile subtrahiere:



Nun habe ich aber nicht diese allgemeine Dreiecksstellung.
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von OttoHesse
Okey ich habe erfahren das die 2. Lösung a = 5/3 ist.

Mal sehen, ob ich auch drauf komme.

2. Zeile mit a dividieren.



Wenn ich nun die 2. mit der 3. Zeile subtrahiere:



Nun habe ich aber nicht diese allgemeine Dreiecksstellung.


Du hast die 2. Zeile falsch übertragen, sie muss anders heißen.

Halte dich an den Tipp von Bjoern um das LGS schnell zu lösen :

Zitat:
Original von Bjoern1982
Zitat:
...vor allem weil das Lösen eine ziemlich hässliche Rechnerei ist.


Und genau deshalb sollte man es sich nicht zu kompliziert machen und direkt am Anfang mit II-I und III-I arbeiten.
Damit wird es dann sehr unkompliziert.


Zitat:
OttoHesse Auf diesen Beitrag antworten »

Okey, tut mir Leid, dann habe ich wohl dumm angefangen.

Zitat:
II-I und III-I




Wird zu



So ungefähr?
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Ja so stimmts, jetzt muss nur noch eine Variable in Zeile 3 weg, welche bietet sich da an?
OttoHesse Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, sorry Black ich stehe auf dem Schlauch.
Ich hoffe du meinst das a?

Ich teile einfach die 3. Zeile dann durch a?
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das ist nicht der richtige Weg. Schau dir die 2. Spalte an, da hast du keine Variablen drin. Die kannste viel leichter auf 0 bringen
OttoHesse Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, die 2. Spalte in der 3. Zeile ist 16.
Na die 16 kriege ich nur auf 0, indem ich sie mit 16 subtrahiere.

Oder wie meinst du das?
Ich entschuldige mich für mein Unwissen unglücklich
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst die 2. Zeile so umformen, dass da auch 16 in der 2. Spalte steht
OttoHesse Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Geduld Black smile

Ich multipliziere die 2. Zeile mit 16/6 und komme somit auf den Wert 16 für die 2.Spalte in der 2.Zeile.

Und subtrahiere anschließend die 2. mit der 3.



((a^2 -1) - (16/6a - 16/6))

Soll ich diesen Term jetzt noch nach a umstellen?
Das sieht wieder kompliziert aus und ist dementsprechen wieder falsch, stimmts?
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das ist soweit richtig Freude


Der Ansatz war ja



Die 3. Zeile in deinem umgeformten LGS stellt ja diese Gleichung hier da:


Und wann ist diese Gleichung nun erfüllt? Nun entweder für r=0 (das würde aber wieder zur trivialen Lösung (0,0,0) führen, das wollen wir nicht) oder eben für

Nun kannst du die Klammer nach ein wenig umformen, dann hast du ein schönes Polynom vom Grad 2 - und von dem kannst du die Nullstellen berechnen
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verfolge den Thread schon eine ganze Weile und möchte einwerfen, dass diese Aufgabe in 5 Minuten und 2 Zeilen zu lösen ist.

Wir entwickeln die Determinante - welche bei linearer Abhängigkeit Null sein muss - nach den Elementen der ersten Spalte:







mY+
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ich weiß verwendet man in der Schule keine Determinanten mehr
OttoHesse Auf diesen Beitrag antworten »

smile

So nun komme ich sogar auf 5/3 wie meine Lehrerin schon vorher gesagt hat smile

Umgestellt:

a^2 - 1 - 16/6a + 16/6 = a^2 - 16/6a + 5/3

PQ-Formel angewandt und ich komme auf:
x1 = 1
x2 = 5/3

Großes großes dankeschön an dich Black smile

Gute Nacht smile
OttoHesse Auf diesen Beitrag antworten »

Wow damit geht es ja schnell mYthos smile

Nur leider wurde uns davon, wie Black gesagt hat nichts auf dem Gymnasium gesagt.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so? Matrizen, Gauß und lineare Abhängigkeit aber schon?
OttoHesse Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, damit beschäftigen wir uns zur Zeit.
Möglicherweise folgen die "Determinanten" noch?
Black Auf diesen Beitrag antworten »

Gauß schon, aber Matrizen quasi überhaupt nicht, es wird nur gezeigt dass man LGS entweder als Gleichungen oder eben in der Matrixschreibweise aufstellen kann.

Bei einem meiner Nachhilfeschüler musste ich feststellen, dass im neuen G8 Lehrplan nun sogar schon die lineare unabhängigkeit gestrichen wurde böse
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Determinaten sind vielleicht von ebensolcher Bedeutung wie Matrizen. Man wird sie in weiterer Folge sicherlich nicht unter den Tisch kehren (können).

mY+
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