endlicher Körper mit verschiedenen Basen im K^n

27.11.2006, 14:11

Buef

endlicher Körper mit verschiedenen Basen im K^n

Sei wieder einmal K ein endlicher Körper mit #K = q Elementen. Wie viele verschiedene Basen hat der Vektorraum $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ?
Beispiel: für n = 1 hat jede Basis die Länge 1, besteht also nur aus einem einzigen Vektor. Dieser darf ein beliebiger Vektor außer dem Nullvektor sein, also gibt es in $\begin{eqnarray*} K^1 \end{eqnarray*}$ genau #K - 1 = q - 1 verschiedene Basen.

Kann jemand uns ein Ansatz geben? Die restlichen Aufgaben haben wir schon gelöst, sodass nur noch die übrig bleibt! Bitte helft uns!

27.11.2006, 14:25

therisen

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Ein Ansatz: Betrachte $\begin{eqnarray*} K = \mathbb F_2, \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ und vielleicht auch noch $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5 \end{eqnarray*}$ . (Dabei ist mit $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p = \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray*}$ gemeint.) und jeweils $\begin{eqnarray*} n=2,3,4, \ldots \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

27.11.2006, 16:41

SilverBullet

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Verstehe dein Ansatz leider nicht unglücklich

Hab mir überlegt wenn $\begin{eqnarray*} K^1 \end{eqnarray*}$ genau q-1 Basen hat, da der 0-Vektor nicht mirgerechnet werden darf so müssten doch für
$\begin{eqnarray*} K^2 \end{eqnarray*}$ genau (q-1) * (q-1) Basen existieren oder stimmt das nicht ?

27.11.2006, 17:05

therisen

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Der Ansatz sollte nur zur Veranschaulichung dienen (induktive Herangehensweise).

Es gibt sicherlich nicht $\begin{eqnarray*} (q-1)^2 \end{eqnarray*}$ Basen für $\begin{eqnarray*} K^2 \end{eqnarray*}$ . Die Vektoren müssen doch linear unabhängig sein! Aber die grundsätzliche Idee ist richtig.

Gruß, therisen

27.11.2006, 17:14

SilverBullet

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Hmm ok bitte gib mir mal nen tipp wie ich das machen muss.

Ich probiere es nochmal so.

Also wenn ich im K² bin dann muss ich mir ja 2 Vektoren nehmen.
Also hab ich für den ersten die Auswahl aus (q-1) Möglichen.
Für den zweiten habe ich dann nur noch (q-2) Möglichkeiten.
Hmm (q-1)*(q-2) wird es wohl nicht sein oder doch ?

27.11.2006, 17:33

Buef

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also ich kam zur folgender Schlussfolgerung aus deinem Post @ terisen
Wenn K² dann ist im F2 die Basen K²=(0,1),(1,0)
nach der Formel ist dieses dann eine Basis!

Demnach wäre K³=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
nach der Formel wären es dann zwei Basen

27.11.2006, 19:28

SilverBullet

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Kann denn keiner mehr helfen ? Bin am verzweifeln ?

Habe noch eine Idee vielleicht sagt ja da jmd was zu :

Ich hab laut dem Beispiel in der Aufgabe ja q-1 möglichkeiten meinen Vektor für K zu wählen.

Für K² müsste ich dann doch wie beim Lotto $\begin{eqnarray*} {q-1 \choose 2} \end{eqnarray*}$ mögliche Basen haben.

Im K^n entspricht das also $\begin{eqnarray*} {q-1 \choose n} \end{eqnarray*}$ verschiedenen Basen.

Bitte bitte helft ein wenig.

gruß
Silver

28.11.2006, 17:15

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von SilverBullet
Für K² müsste ich dann doch wie beim Lotto $\begin{eqnarray*} {q-1 \choose 2} \end{eqnarray*}$ mögliche Basen haben.

Im K^n entspricht das also $\begin{eqnarray*} {q-1 \choose n} \end{eqnarray*}$ verschiedenen Basen.

Mit welcher Begründung? Wo ist da die Analogie zum Lotto? Und ist dir klar, dass deine Formel für $\begin{eqnarray*} q-1<n \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ergibt?
Jede Basis besteht ja aus genau $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Vektoren. Zunächst gibt es $\begin{eqnarray*} q^n-1 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, einen beliebigen Vektor aus $\begin{eqnarray*} V=K^n \end{eqnarray*}$ zu wählen, der zu einer Basis gehört (warum?). Wie viele Möglichkeiten hast du jetzt noch, um einen beliebigen zweiten Vektor $\begin{eqnarray*} b_2 \end{eqnarray*}$ zu wählen, sodass beide zusammen zu einer Basis gehören? Denke daran, dass die beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} b_1,b_2 \end{eqnarray*}$ voneinander linear unabhängig sein müssen. Wie viele Möglichkeiten gibt es dann noch für einen dritten Basisvektor $\begin{eqnarray*} b_3 \end{eqnarray*}$ ? Usw. ... diese Möglichkeiten musst du natürlich dann noch irgendwie verknüpfen. Wie du das machst, solltest du selber rausfinden.

Gruß MSS

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