Eigenwert (2x2 Matrize)

07.02.2011, 00:49

princak

Eigenwert (2x2 Matrize)

Hallo, wer kann mir bitte hierbei helfen. Gesucht ist der Eigenwert.

-1 1
4 -1

=> h = lambda

-1-h 1
4 -1-h

und weiter?

07.02.2011, 00:59

lgrizu

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RE: Eigenwert (2x2 Matrize)
Determinante bilden und =0 setzen.

07.02.2011, 01:00

princak

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RE: Eigenwert (2x2 Matrize)
kannst du mir bitte das einmal vorrechnen?

07.02.2011, 01:03

lgrizu

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RE: Eigenwert (2x2 Matrize)
Wie berechnet man denn die Determinante einer 2x2 Matrix?

07.02.2011, 01:06

princak

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RE: Eigenwert (2x2 Matrize)
ich kann ihnen sagen wie man die determinante einer 4x4 berechnet. deswegen bin ich ja so hilflos. bitte um verständnis

07.02.2011, 01:10

lgrizu

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RE: Eigenwert (2x2 Matrize)
Die Anrede am Board ist "du". Augenzwinkern

Okay, Determinantenberechnung:

Es ist: $\begin{eqnarray*} det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}=a_{11} \cdot a_{22}- a_{21} \cdot a_{12} \end{eqnarray*}$

07.02.2011, 01:14

princak

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RE: Eigenwert (2x2 Matrize)
okay:

(-1-h) * (-1-h) - 4 = 0

jetzt die Klammer auflösen? Wenn "JA" bitte einmal vorrechen. ich bitte DICH, BITTE BITTE BITTE

07.02.2011, 01:18

lgrizu

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RE: Eigenwert (2x2 Matrize)
Ich werde dir die Aufgabe nicht vorrechnen, wir können sie aber gemeinsam lösen.

Deine Rechnung ist richtig, nun kann man recht einfach auflösen:

$\begin{eqnarray*} (-1-x)(-1-x)-4=0 \Rightarrow (-1-x)^2-4=0 \end{eqnarray*}$

Nun eine Äquivalenzumformung und dann die Wurzel ziehen.

07.02.2011, 01:23

princak

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RE: Eigenwert (2x2 Matrize)
muss man den nicht ausklammern? danke das du mit mir die aufgabe rechnest!

07.02.2011, 01:27

lgrizu

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RE: Eigenwert (2x2 Matrize)
Wieso ausklammern?

Bringe die 4 auf die andere Seite und ziehe dann die Wurzel.

07.02.2011, 01:30

princak

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RE: Eigenwert (2x2 Matrize)
(-1-h) = 2 ?

07.02.2011, 01:38

lgrizu

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RE: Eigenwert (2x2 Matrize)
Jap, aber dabei beachten, dass gilt $\begin{eqnarray*} 2^2=(-2)^2=4 \end{eqnarray*}$ , also das zwei mögliche Vorzeichen in Frage kommen.

Wir haben also $\begin{eqnarray*} (-1-h)= \pm 2 \end{eqnarray*}$ , nun nach h auflösen und du hast deine beiden Eigenwerte.

07.02.2011, 01:45

princak

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RE: Eigenwert (2x2 Matrize)
juhu vielen dank !!!

h = $\begin{eqnarray*} \pm 2 +1 \end{eqnarray*}$

Also -1 und 3 !?

07.02.2011, 01:50

lgrizu

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RE: Eigenwert (2x2 Matrize)
Nein, Vorzeichenfehler: $\begin{eqnarray*} -h=\pm 2+1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} h=\pm 2-1 \end{eqnarray*}$ .

Die beiden Eigenwerte sind h=-1 und h=-3

07.02.2011, 01:52

princak

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RE: Eigenwert (2x2 Matrize)

Zitat:

Original von lgrizu

Die beiden Eigenwerte sind h=1 und h=-3

07.02.2011, 01:56

princak

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RE: Eigenwert (2x2 Matrize)
Wenn DU noch zeit hast, könntest du mir bitte zeigen wie ich noch den Eigenvektor errechne?

07.02.2011, 02:19

Iorek

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Habt ihr in eurem Vorlesungsskript nicht etwas hilfreiches zur Berechnung von Eigenvektoren zu einem gegebenen Eigenwert stehen, das man mal nachschlagen könnte? Idee!

07.02.2011, 02:37

princak

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Kann mir einer bitte den Eigenvektor errechnen?

07.02.2011, 02:39

Iorek

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Nein, das wird dir keiner vorrechnen, lies dazu bitte einmal Prinzip "Mathe online verstehen!"

Was habt ihr denn in eurem Skript/Vorlesungsmitschrift zur Berechnung der Eigenvektoren stehen? Das solltest du schon selber nachschlagen. Alternativ würde es auch ein Blick auf Wikipedia tun.

07.02.2011, 02:48

princak

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so hier mein ansatz, ich mach aber irgendetwas falsch:

es heisst ja

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also gilt doch für den Eigenvektor:

a=x1 , b=x2 , h=lambda

-1a + 1b = ha

und

4a - 1b = hb

und dann halt nach x1 bzw. x2 umformen, oder?

07.02.2011, 02:53

Iorek

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Du machst also den Ansatz $\begin{eqnarray*} Ax=\lambda \cdot x \end{eqnarray*}$ und willst zuerst den Eigenvektor zum Eigenwert 1 berechnen, du kannst das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ also sofort in den Gleichungen ersetzen.

Ansonsten wäre das ein richtiger Ansatz, ja. Jetzt das entstandene Gleichungssystem lösen.

07.02.2011, 03:00

princak

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kann das sein? ich kriege für lambda=1, x2=+ - 2

07.02.2011, 03:02

Iorek

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$\begin{eqnarray*} \lambda =1 \end{eqnarray*}$ ist doch schon festgelegt... verwirrt