Determinantenfunktion - Part II

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Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »
Determinantenfunktion - Part II
Hallo Leute,

mir will das einfach nicht in den Kopf rein. In den spärlichen Vorlesungsunterlagen, die ich habe, finde ich hierzu auch kein Beispiel.

Es sei . Gibt es eine Determinantenfunktion mit und . Die Antwort ist zu begründen.

Leider habe ich nicht leisesten Hauch einer Ahnung. Wo soll ich bei dieser Aufgabe anfangen? verwirrt


Ibn Batuta
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

hey,

ein paar überlegungen(vielleicht helfen sie dir weiter):

eine determinantenfunktion ist per definition eine multilineare und alternierende abbildung, d.h. im falle der linearen abhängigkeit der argumente wirst du immer als ergebnis eine 0 erhalten.

eine -Basis von ist .

ich vermute, dass es hier genügt, sich die argumente der funktion anzuschauen.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Sei und , prüfe und auf lineare Unabhängigkeit.



Damit sind und linear unabhängig. Was kann ich damit nun anfangen? verwirrt


Ibn Batuta
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

mir ist gerade nicht ganz klar, woher die matrizen kommen.

eine determinantenfunktion bildet n verschiedene vektoren(also elemente deines vektorraums) auf ein skalar ab. so musst du z.b. bei der ersten gleichung 1 und i-1 als einzelne elemente deines vektorraums aufffassen, deshalb sehe ich keinen grund, v und w zu definieren.

vielleicht habe ich mich im dem punkt etwas unklar ausgedrückt.

ich meinte eher, dass man die einzelnen argumente auf lineare unabhängigkeit/abhängigkeit überprüft.

also z.b. und . hier besteht offensichtlich eine lineare unabhängigkeit.

allerdings ist mit . (dies ist man auch relativ offensichtlich).

das bedeutet aber wiederum nichts anderes, als dass (für und ) gilt: .

und dies hat auswirkungen auf die eigenschaften deiner determinatenfunktion, die ich oben genannt habe smile
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, jetzt verstehe ich was du meinst! Die Matrizen kamen daher, dass ich die Vektoren und aus auf lineare Unabhängigkeit prüfte.

Zwei Vektoren aus sind doch immer linear abhängig. verwirrt

Werde mir deine Tipps genauer anschauen und berichten, was ich damit anstelle...


Ibn Batuta
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal sauber die Definition von diesem Zeug hinschreiben.....

______________________________________________________

Sei ein -dimensionaler Vektorraum über einem Körper . Dann heißt eine Funktion Determinantenfunktion, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

ist multilinear, d.h. linear in jeder Variablen:

(Additivität)


(Homogenität)

ist alternierend:



______________________________________________________

und , also mit . Das ist aber nicht dasselbe. böse

Was soll überhaupt die Additivität? Das raff ich ja noch gar nicht. Wäre mal, ausnahmsweise, echt nett, wenn man hier mal Licht ins Dunkel bringen könnte. Hänge an diesen blöden Determinantenfunktionen nun schon seit Wochen ohne einen geringen Fortschritt. böse


Ibn Batuta

Edit: Zeilenumbrüche eingefügt. Gruß, Reksilat.
 
 
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube dein verständnisproblem liegt daran, dass der begriff "alternierend" im zusammenhang mit determinantenfunktionen ziemlich "blöd" definiert ist.

anschaulich gesehen bedeutet dies einfach nur, dass, sobald du 2 gleiche vektoren hast, die determinantenfunktion den wert 0 hat.

man kann sich das ganze am beispiel einer speziellen determinantenfunktion verdeutlichen, nämlich diejenige, die jeder quadratischen matrix ihre determinante zuordnet.

betrachte die spalten der matrix (wahlweise auch die zeilen, das spielt hierbei keine rolle) als vektoren eines n-dimensionalen vektorraums.

sind 2 spalten der matrix gleich, ist die determinante 0.
(das liegt daran, dass du jede matrix in spalten - bzw. zeilenstufenform bringen kannst, indem du umformungen benutzt, die den wert der determinante nicht ändern. dadurch erhälst du auf der diagonalen der matrix eine 0, und somit ist das produkt der diagonalelemente 0 )

Zitat:
Was soll überhaupt die Additivität? Das raff ich ja noch gar nicht.


die additivität ist einfach eine eigenschaft einer (multi)-linearen abbildung.


zur aufgabe:

ich glaube mir ist da auch ein (großer) denkfehler unterlaufen.

ich hatte mir folgendes überlegt:

die erste gleichung, kann durchaus so eintreten, allerdings habe ich das problem bei der zweiten gleichung gesehen, denn
für und ist

ist mit

demnach wäre

jetzt habe ich aber gemerkt, dass auch die erste gleichung so umgeformt werden kann, nämlich und demnach könnte man auch die erste gleichung so umformen.

demzufolge würde dieses argument nicht hinhauen, etwas anderes fällt mir momentan aber auch nicht wirklich auf.

sorry für die verwirrung traurig
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

@hnky: wird hier als -Vektorraum der Dimension 2 angesehen. Skalare dürfen demnach nur reelle Zahlen seien und somit sind und linear unabhängig. Augenzwinkern

@Ibn Batuta: Du hättest Dich in Deinem ersten Thread ja auch mal etwas weiter mit dem Thema beschäftigen können. Stattdessen machst Du einen weiteren Thread auf, der quasi das gleiche Problem behandelt und jammerst weiter.

Betrachte hier die von hnky erwähnte Basis und untersuche . Dieser Wert bestimmt bereits die komplette Determinantenfunktion.

So ist
(Da wegen der Eigenschaft alternierend ist.)

Ähnlich kannst Du den anderen Ausdruck auswerten und dann noch die Eigenschaft schiefsymmetrsich verwenden, um eventuell einen Widerspruch zu erzeugen.

Gruß,
Reksilat.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch beiden für eure Antworten.

Reksilat, folgende Stelle verstehe ich nicht:



Ich hätte folgende Umformung gemacht:

Warum ist das falsch?


Und wieso wird in diesem Schritt



Ich hätte folgende Umformung gemacht:



Warum ist das falsch?


Ibn Batuta
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Warum das falsch ist, steht doch oben in deiner Definition von "multilinear", sieh sie dir noch einmal genau an.

Edit: Entschuldige, hnky, ich dachte du wärst offline.
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Warum das falsch ist, steht doch oben in deiner Definition von "multilinear", sieh sie dir noch einmal genau an.

Edit: Entschuldige, hnky, ich dachte du wärst offline.


kein problem, ich lerne gern auch etwas neues dazu smile
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich lasse die Aufgaben, die irgendetwas mit Determinantenfunktionen zu tun haben, wenn sie in der Klausur drankommt, einfach unbearbeitet stehen.


Ibn Batuta
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ibn Batuta
Ich hätte folgende Umformung gemacht:
Warum ist das falsch?

Weil die Additivität in einer Komponente eben nur dann gegeben ist, wenn alle anderen Komponenten gleich sind.


Zitat:
Ich hätte folgende Umformung gemacht:

Warum ist das falsch?

Mit Verweis auf die Eigenschaft schiefsymmetrisch wäre das sogar richtig. Die Homogenität bezieht sich beim Ausmultiplizieren aber wieder auf nur eine Komponente. Alle anderen Komponenten bleiben fest.

Das stimmt auch exakt so mit den Definitionen überein.

Zitat:
Ich glaube ich lasse die Aufgaben, die irgendetwas mit Determinantenfunktionen zu tun haben, wenn sie in der Klausur drankommt, einfach unbearbeitet stehen.

Ich bin beeindruckt von Deiner Ausdauer!

Wenn Du aber nicht mal dazu in der Lage bist, eine Definition zu lesen und exakt dem Wortlaut nach anzuwenden (mit Verstehen hat das bis jetzt noch nicht so viel zu tun), dann ist es wohl das beste, einfach aufzugeben.
LOL Hammer

Gruß,
Reksilat.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Reksilat
Ich bin beeindruckt von Deiner Ausdauer!

Wenn Du aber nicht mal dazu in der Lage bist, eine Definition zu lesen und exakt dem Wortlaut nach anzuwenden (mit Verstehen hat das bis jetzt noch nicht so viel zu tun), dann ist es wohl das beste, einfach aufzugeben.
LOL Hammer

Gruß,
Reksilat.


Wenn mein jungfräuliches Mathematikstudium an Determinantenfunktionen scheitern soll, bin ich damit einverstanden. Dann soll es eben nicht sein.

Ich sitze seit Wochen an Determinantenfunktionen und auch heute Nachmittag wieder an diesem blöden Ausdruck und weiß damit keinerlei Umformung mit dieser Definition anzustellen.

Danke euch vielmals für eure Mühen!


Ibn Batuta
BieneMaja Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Kommilitone
Falls du dein Determintanenproblem noch nicht gelöst hab versuche ich dir mal zu helfen.
Also vorgegeben war ja:

Wir nehmen jetzt mal an, das wäre eine Determinantenfunktion. Dann dürfte man die Definition der Multilinearität anwenden, d.h. nun

Wenn du das verstanden hast, sollte der Rest auch kein Problem mehr sein, zur Verdeutlichung, wie man mit Multilinearität umgeht noch schnell die andere Determinante:

Der nächste Schritt ist nun die Ausnutzung, dass die Determinantenfunktion alternierend ist, das heißt nun wieder rum, dass die Determinante von linear abhängigen Vektoren 0 ist, in unserem Fall also:
Hier ist , denn die Vektoren 1 und -1 sind linear abhängig, also gilt

Nun kannst du dich sicher erinnern, dass die Vektoren 1 und i eine Basis des R-VRs C bilden, das ist wichtig, denn nun wenden wir auf die zweite Determinante, also auf Lemma 12.6 aus der Vorlesung an, welches besagt:
oder in Worten:
Die Determinante irgendwelcher Vektoren v1,...,vn ist gleich dem Produkt der Determinante der Darstellungsmatrix mal der Determinante der Basisvektoren.
Also:
...
folglich kann es keine Determinantenfunktion sein
Gruß
Biene

Edit: Komplettlösung entfernt. Gruß, Reksilat.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, das ist ja mal eine 1 A-Hilfe, vielen Dank BieneMaja! Freude So wird das auch mal klar. Manchmal sollte man eben auch durch Beispiele helfen, anstatt nur auf Definitionen zu verweisen, learning by doing ist ja schließlich auch eine Methode. smile


PS: Wie weit bist du mit dem Lernen schon? Bis auf die Determinantenfunktionen ist mir soweit alles klar... Glaubst du, dass was zu Polynomringen drankommen könnte. verwirrt


Ibn Batuta
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ibn Batuta
Manchmal sollte man eben auch durch Beispiele helfen, anstatt nur auf Definitionen zu verweisen, learning by doing ist ja schließlich auch eine Methode. smile

Es ist zum Kotzen! böse

Du hast aufgegeben, ohne auch nur im Ansatz nachzudenken, nachzuvollziehen, nachzuhaken,...
Deine beiden Threads zu diesem Thema waren von Deiner Seite ein völliges Armutszeugnis und dass Dir jetzt jemand entgegen den Regeln dieses Forums die Lösung vorkaut, ist keine 1A-Hilfe, sondern einfach mal für alle anderen Helfer eine Enttäuschung.

Die Umformung des ersten Terms habe ich Dir so ausführlich vorgerechnet, wie nur möglich. Den zweiten Term umzuformen war hier nun mal Deine Aufgabe und weder Verständnisfragen noch irgendein Ansatz waren zu sehen.

Du hast Dich hier zurückgezogen, hast klein beigegeben und Dich vor der Arbeit gedrückt. Ich hätte Dir Deine Fragen nach bestem Wissen beantwortet und Dir gerne weitergeholfen, aber Du wolltest nicht mehr.

Wenn ich dann so einen Satz wie den oben zitierten lesen muss, dann ist das für mich ein Schlag ins Gesicht. "Learning bei doing" heißt selbst etwas tun und nicht andere arbeiten lassen. Das ist das Prinzip dieses Forums und einer der Gründe, warum viele Helfer hier so gerne sind. Die Torpedierung unserer Bemühungen durch Lernunwillen und Klugscheißer, die ihre tollen Komplettlösungen loswerden wollen, sind manchmal eine Plage, aber bisher habe ich mich noch nie so sehr davon getroffen gefühlt wie heute.

Reksilat.
unglücklich
BieneMaja Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Verteidigung von ibn batuta muss ich hier nun mal anführen, dass ihm die Lösung der Aufgabe sowieso schon vorliegen müsste, da es sich um die aufgabe aus einer Probeklausur von vor einer Woche geht, die mittlerweile verbessert wurde und ich ihm nicht unterstelle, dass er sich vor Aufgaben, dessen Lösung man nicht gleich auf Anhieb sieht, drückt, dies zeigt ja auch seine rege Beteiligung in den vielen anderen Threads.

Manchmal tut man sich vor allem als Erstsemester einfach schwer abstrakte Definitionen auf konkrete Beispiele anzuwenden und wenn dann auch noch die Klausur vor der Tür steht und man den entscheidene Gedankengang bisher nicht nachvollziehen konnte, dann ist man glaub ich für jedes Beispiel dankbar.

Natürlich versteh ich reksilats Bedenken eine lösung vorzukauen und ich werd mich in Zukunft damit zurückhalten, nur war das für mich in der dieser Sitution eben das, womit ich hoffte ibn am meisten helfen zu können.
Gruß Wink
Biene
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst dir ja BieneMajas Antwort durchlesen, Reksilat. Besser hätte ich es selbst nicht hinschreiben können.


Ibn Batuta
Test123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich habe auch ein Problem mit dieser Aufgabe.

Zitat:
Original von BieneMaja
Hier ist , denn die Vektoren 1 und -1 sind linear abhängig, also gilt




Eigentlich verstehe ich alles soweit nur der letzte Schritt ist mir unklar, wie berechne ich denn:



Über eine Antwort würde ich mich freuen!
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe erste Seite, dieser Wert ist vorgegeben.
Test123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke!

Zum 2. Fall wenn du mir nur noch bestäigen könntest, ob ich das nun richtig sehe.

Falls es eine Det. Funktion wäre, müsste es einen reellen Skalar X (=Determinante der Darstellenden Matrix) geben, so dass:

gilt?

Da ja 1 und i eine Basis des R-VR's C bilden.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Test123


Das kann man sich so überlegen:

.

Dann muss man nur noch ein paar Eigenschaften von Determinantenfunktionen verwenden und erhält dann diesen Skalar, den du suchst. Daraus erhält man dann einen Widerspruch zu Angaben auf Seite 1.
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